1 . 如图， 在中， 对角线，相交于点O， 过点O的直线分别交，于点E ， F ．求证：．

2 . 解答

（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．
（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为         ．
（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．
i．如图②，连结，当时，求的面积．
ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．

3 . 如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．

4 . 如图，是一段斜坡，是水平线，现为了测斜坡上一点的竖直高度的长度，欢欢在处立上一竹竿，并保证，然后在竿顶处垂下一根绳，与斜坡的交点为点，他调整好绳子的长度，使得，此时他测得米，求的长度．

5 . （1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

6 . 某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了．

(1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是          ；
(2)请说明你的理由．

7 .    
(1)观观察理解：如图1，中，，，直线过点，点在直线同侧，，，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（______）；（请填写全等判定的方法）；
(2)理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_____
(3)类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积      ．
(4)拓展提升：如图4，等边中，，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点运动的时间为秒．
当_____秒时，；
当_____秒时，点恰好落在射线上．

8 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

9 . 如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，直接写出的长．

10 . 如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、于点E、F，交于点O．

(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)如果在中，，，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿和各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）