1 . 如图，在矩形中，，，P是边上的任意一点，连接，，E，F，G分别是，，的中点．

(1)与的数量关系为________；位置关系为________；
(2)试猜想：当点P位于什么位置时，四边形是菱形？并证明猜想的正确性；
(3)若（2）中菱形为正方形，直接写出a与b之间的数量关系．

2 . 综合与实践
问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题．
如图1，是的中位线．则，且．
(1)如图1，若，则________；
(2)回顾证法：
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）．
请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程；

已知：中，点，分别是，的中点．
求证：，且．
(3)方法迁移：
如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长．

3 . 从4 地出发前往B地由于被一座山隔开而导致公路无法直达，需绕道C地，这大大影响了A、B两地居民的日常生活，现在国家决定投资从A地修建一条隧道(如图中虚线所示)穿过山直达 B地． 现在测得公路长42千米，长50千米，的中点 D、的中点E 之间距离长20千米．A、B间直达公路通车后，通行距离将比原来绕道 C 地缩短了_______   千米．

4 . 证明：三角形的三条中线交于一点．
已知：如图，、是的中线，、交于点O，连接并延长交于点F．
求证：是的中线．
小明进行了以下思考，证明：延长至点G，使得，连接、…
（请沿着小明的思考，将证明过程补充完整．）

5 . 如图，平行四边形的顶点在等腰直角三角形的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则_________．

6 . 阅读下面的内容：
求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．
已知：中、分别是、的中点．
求证：，且．
证明：过点作的平行线交的延长线于点，如图所示：

，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
，且．
类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
如图，梯形中，、分别是腰、的中点，就是梯形中位线．
梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．
请参考例题证明梯形的中位线性质．
已知：如图梯形中，、分别是腰、的中点．
求证：________________．
证明：_____________________．

7 . 已知：点在正方形的边的延长线上，连接，过点作，交边于点．

(1)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由：
(2)如图2，连接，，作的平分线交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作，交的延长线于点，为的中点，连接．若，，请求出的长．

8 . 小凡同学在学习了三角形中位线定理后，重新组合题设和结论，得到如下命题：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．即在中，若D为中点，，则E为中点．
(1)请你完成这一命题的证明．
(2)小凡同学发现由这个命题可以得到一种作线段中点的方法：
如图，要作线段的中点：
①作射线；
②以A为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点E，再以E为圆心，以长为半径画弧，交射线于点C；
③连接BC，过点E作交于点D，连接，则点D为线段的中点．

请你仿照小凡的方法，将线段五等分（不必证明，保留作图痕迹，平行线可通过三角尺、直尺完成，无需尺规作图）．

9 . 我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
在中，D、E分别是、的中点． 通过延长至F，使，连接，易证：且．

【探究学习】
如果将截去，剩下梯形且，取、的中点M、N，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系． 写出结论                           ，请证明你的结论；

【学以致用】
在梯形中，，，，M、N分别是、的中点，，求梯形的面积．

10 . 平行四边形中，点E在上方，交于点F，连接交于点G，，

(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接AE，若求证：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，作交于点K．若，，求线段的长．