1 . 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接．

【特例感知】
(1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系              ，与的数量关系              ．
【类比迁移】
(2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
(3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值．

2 . 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：

(1)用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①______
，
在和中
，

，
在中，是中点，是中点
且③______．


请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．

3 . 【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．

4 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，连接，，求的面积；
(3)作直线，分别垂直于轴和轴，垂足为，，与交于点，在第一象限内存在一点使得，连接，若点是的中点，连接，当最大时，求出此时点的坐标及的值．

5 . 平行四边形中，点E在上方，交于点F，连接交于点G，，

(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接AE，若求证：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，作交于点K．若，，求线段的长．

6 . 在平面直角坐标系中，直线分别与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点，

   

(1)如图1， 求点 A坐标；
(2)如图2，点C为x轴正半轴上一点，连接，若点C的横坐标为t，设 的面积为S，用含有t的式子表示S；
(3)如图3， 在（2）的条件下， 点D在BA的延长线上， 点E在BC上， 连接交x轴于点F， 点G在第一象限的直线AB上，连接，若，求四边形的面积．

7 . 【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线相交于点T．
(1)如题图1，若，以点T为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线；

(2)如题图2，若点F，G分别为线段的中点，求证：；

(3)如题图3，若点M是的中点，交AC于点P，若，直接写出的长          ．（用含字母a的代数式表示）

8 . 如图，，，，，点是中点、点是中点，点从出发，以每秒个单位的速度沿运动包括点，，，到达点停止，运动时间为．

(1)      、       ．
(2)当为什么值时，的面积是．求出值，并简要说明理由．
(3)当为何值时，四边形是平行四边形，说明理由并求此时线段的长．
(4)当点在边上运动时，是等腰三角形，直接写出的值．

9 . 如图，某公园有一块三角形空地，米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，点、分别是、的中点，则栅栏的长为________米．

10 . （1）探索：如图①，四边形中，，过作于点，于点，求的面积．
（2）应用：如图②所示，点为线段外一动点，且，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，求面积的最大值．