1 . 平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，．

(1)如图1，求的面积；
(2)如图2，连接，点是的中点，求的长；
(3)如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长．

2 . 阅读与思考：
下面是莉莉同学的学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务．

芬斯勒—哈德维格尔定理

芬斯勒—哈德维格尔定理：如图1，若两个正方形和拥有同一个顶点，则的中点，的中点，正方形的中心和正方形的中心将组成一个正方形．

证明过程如下：

证明：连接与交于点与交于点．

由四边形，四边形均为正方形，易证：，

．

分别是的中点，（依据1）．

同理，，

四边形为菱形（依据2）．

……

拓展应用：

如图2，正方形和正方形有公共顶点，点在的延长线上，点在边上，为的中点，为的中点，点分别为正方形和正方形的中心．若，则四边形的面积为______．

任务：
(1)材料中的依据１是指______，依据2是指______．
(2)将“……”处的证明过程补充完整．
(3)材料“拓展应用”中的四边形的面积为______．

3 . 如图，在正方形中，点为线段上一个动点，若垂直平分，且与、、、分别交于点、、、，若已知正方形的面积，可以求得（       ）

   

A．与面积之和	B．与面积之和
C．与面积之和	D．与面积之和

4 . （1）【模型建立】：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，点分别是的边、上的中点，即：是的中位线，
由三角形的中位线定理可得结论：_________且________．（请补全结论）

（2）【模型应用】：如图2，点、分别是四边形的边、上的中点，点是对角线的中点，．求证：．
（3）【模型迁移】：如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长．

5 . 如图1，已知是等腰直角三角形，，点，是三角形外的两点，分别连接，，，，其中，．

(1)求证：；
(2)如图2，交于点，连接，是的中点，分别连接，．若求与的数量关系．

6 . 如图，等边中，．

(1)尺规作图：在图1中作点A关于的对称点C，连接，并证明四边形是菱形；
(2)在（1）的条件下，点O是四边形对角线交点，动点E，F，G分别在线段上，且满足，H是中点；
①当时，求证；
②当时，求长度．

7 . 【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且．
【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明．
小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F．
小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M．
【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由．
【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________．

8 . 问题1：在等腰中，，由翻折得到．

（1）如图1，当点落在上时，求证：；
（2）如图2，若点为中点，，求的长．
问题2：如图3，在等腰中，．连接，试说明是直角三角形．

9 . 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形

如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴、分别是和的中位线，
∴，（____①____）
∴．
同理可得：．
∴中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
	菱形

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】

原四边形对角线关系	中点四边形形状
不相等、不垂直	平行四边形
	②________

（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

原四边形对角线关系	中点四边形形状
③________	④________

结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．

10 . 在数学课上，老师布置以下思考题：
已知：，点D为的中点．
求作：线段，使．

   

小智结合所学知识思考后，作法如下：
①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线，直线交于点E；
③连接．
所以就是所求作的线段．
(1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________．