1 . 从4 地出发前往B地由于被一座山隔开而导致公路无法直达，需绕道C地，这大大影响了A、B两地居民的日常生活，现在国家决定投资从A地修建一条隧道(如图中虚线所示)穿过山直达 B地． 现在测得公路长42千米，长50千米，的中点 D、的中点E 之间距离长20千米．A、B间直达公路通车后，通行距离将比原来绕道 C 地缩短了_______   千米．

2 . 证明：三角形的三条中线交于一点．
已知：如图，、是的中线，、交于点O，连接并延长交于点F．
求证：是的中线．
小明进行了以下思考，证明：延长至点G，使得，连接、…
（请沿着小明的思考，将证明过程补充完整．）

3 . 如图，平行四边形的顶点在等腰直角三角形的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则_________．

4 . 如图，某公园有一块三角形空地，米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，点、分别是、的中点，则栅栏的长为________米．

5 . 如图，我们把依次连接任意四边形各边中点所得四边形叫中点四边形．

(1)若四边形是菱形，则它的中点四边形一定是      ；
A．菱形     B．矩形     C．正方形     D．梯形
(2)若四边形的面积为，中点四边形的面积记为，则与的数量关系是＝      ；
(3)在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形．

6 . 【课本再现】
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．

【定理证明】
如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且．
以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接．
（1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤．
【知识应用】
（2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形．
（3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：．

7 . 如图，梯形中，，是中位线，于G，于H，梯形的高．沿着，分别把，剪开，然后按图中箭头所指方向，分别绕着点E，F旋转，将会得到一个什么样的四边形？简述理由．

8 . 【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长．

小鹏同学考虑到点是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接与交于点．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图3，中，平分于．求证：；

【学以致用】
（3）如图4，在，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，求的长．

9 . 在中，点为边的中点，过点的动直线可绕点旋转，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点．

(1)当直线经过点时，如图1，写出线段与的之间的数量关系，并给出证明；
(2)当直线旋转到如图2、图3的位置时，线段之间分别有怎样的数量关系，写出你的结论，并给出证明．

10 . 应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．
   
【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值；
（2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值；
【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由．