1 . 四边形是菱形，点E为中点，，以点E为圆心长为半径作与交于点F．

(1)用无刻度直尺做过点F作的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明为的切线．
(2)当时，__________．

2 . 如图，点C在外，P为中点，A在上，且，连接并延长交于点B，则能否成立？并说明理由．

3 . 如图，在中，于点，则______．

4 . [模型建立]
如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离．

[问题解决]
请就图①中为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______．
（2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______．

[拓展延伸]
如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______．

5 . 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．

       

操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．

①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；

【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．

6 . 如图，在中，，为边上一动点，过点作的垂线，交于点．

(1)若平分，且，，求的长；
(2)如图，若，且是的中点，当时，求的长；
(3)如图，在上，用尺规作图的方法，找出另一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
(4)若，，直接写出的最小值．

7 . 小明学习完《等腰三角形》一章后，登录百度网站搜索了等腰直角三角形的一些性质．百度网站具体显示如下：
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等，直角边与斜边的夹角为锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为，所以

【新知研究】
（1）如图1，在中，分别是的中点，，则         ；
【拓展提升】
（2）如图2，在中，，射线，为射线上一动点，是的中点，，，设，的面积为，求与之间的函数表达式；
【综合运用】
（3）如图3，在等腰中，，点P在边上，分别为的中点，连接，过点作的垂线，与分别交于两点，连接，交于点H．
①与存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
②直接写出的最大值．

8 . 教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长．

9 . 已知：如图，在中，．点D是外一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接和．
【初步探究】
（1）试说明：和的面积相等．
小明经过多次尝试，得到如下解决思路：在图①中，过点E作于点F；过点D作于点G．只要说明即可．请你按小明的思路画出相应图形并写出完整的求解过程；

【深入探究】
（2）如图②，当的中点M在边上时，结合图形直接写出线段与的数量关系和位置关系：             ；

【迁移拓展】
（3）如图③，当的中点M不在边上时，（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

10 . 如图1，在边长为的正方形中，对角线、相交于点O，点E、F是上的两个动点，且，连接、．分别取、、的中点H、K、G，连接、．

(1)如图1，求证：①；②；
(2)直接写出的最小值；
(3)如图2，连接、，求证：四边形是平行四边形；
(4)若以E、K、F、G为顶点的四边形是矩形，求的长．