1 . 如图，在直角坐标系中， 的圆心为，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形．

(1)点的坐标为      ；
(2)求证：是的切线；
(3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标．

2 . 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度．

(1)如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数；
(2)在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）．
（参考数据：）

3 . 盲猜饮料挑战：小明知道不透明的箱子中装有雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料，但不清楚4种饮料的摆放顺序．

(1)小明猜对摆放在位置①的饮料的概率为      ．
(2)求小明猜对所有位置上饮料的概率．

4 . 学校计划铺设一条的跑道，若由甲施工队铺设，所需时间比规定时间多1天；若由乙施工队铺设，所需时间比规定时间少2天．乙队的铺设速度比甲队快．求学校铺设跑道的规定时间是多少天？

5 . 如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则______．（填“、或”）

6 . （1）如图①，中，，，为边上一动点，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接．
①若，求的长度；
②求的最大值．
（2）如图②，当点在的延长线上时，将点A绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接．记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．

7 . 如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．

(1)填空：点的坐标为         ，           ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则          ．

8 . 如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面的立柱、垂直于立柱的横杆以及支撑杆组成，其中m，m，m．调节架构利用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m的连接杆、、架线杆组成，连接点、、在一定范围内移动，移动时始终保持，且的度数不超过．

(1)求证：；
(2)若架线杆到地面的距离为5 m，求连接点到点的距离（结果精确到0.01 m，参考数据：，）．

9 . 为推进“五育并举”，某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生每周家务劳动时间（单位：h）进行了调查，并将所得数据整理后绘制出如下扇形统计图．其中每周家务劳动时间在1~1.5h范围内的人数为4人（每组只含最小值，不含最大值）．

(1)该课外活动小组抽取的样本容量是         ；
(2)样本中，每周家务劳动时间在哪个范围内的人数最多？这个范围的人数是多少？
(3)设该校有900名八年级学生，合理的每周家务劳动时间为不少于2h，求该校八年级学生每周家务劳动时间不少于2h的人数．

10 . 定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为____________．