1 . 如图，是的外接圆，是的直径，于点E．

(1)求证：；
(2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长．

2 . 如图，每个小正方形的边长为1，在中，E分别为，的中点， 则线段的长为______．

   

3 . 如图，在菱形中，是对角线，，，是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

   

(1)如图1，在上找一点，使的周长最短．
(2)如图2，在上找一点，作线段，使得．

4 . 如图，在矩形中，平分，交于点E，连接，F为的中点，G为的中点，连接．已知，．

   

(1)求的长．
(2)求的长．

5 . 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为____________．

   

6 . 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，DN分别与边交于E、F两点，如图1所示．
   
(1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是______，位置关系是______．
(2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，判断的形状，并说明理由．
(3)拓展应用：①如图4，将绕点D继续旋转，射线，分别与，的延长线交于E，F两点，满足，是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；
②若在绕点D旋转的过程中，射线，分别与直线，交于E，F两点，满足，若，则＝______（用含a，b的式子表示）．

7 . 如图，在平面直角坐标系中已知点和点，是的中点，若有一动点在折线上运动，直线截所得的三角形为直角三角形，则点的坐标为______．

   

8 . 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______．

   

10 . 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，E，F分别是边BC，AC的中点，DF=2cm，则EC为________cm．