1 . 家住两相邻小区的丽丽和娟娟在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是一座小山
、丽丽家所在的小洋房
、娟娟家所在的居民楼
，实践内容为测量小山的高度
家住顶楼的娟娟在窗户
处测得丽丽家小洋房底部
点的俯角为
，丽丽在自家窗户
处测得小山山顶的一棵竖直的大树顶端
的仰角为
，且与互余，已知两家水平距离
米，且
，大树高度
米，丽丽家小洋房
米，点、
、
在一条直线上，
，
，
，请根据以上信息求小山的高度．
、丽丽家所在的小洋房、娟娟家所在的居民楼，实践内容为测量小山的高度家住顶楼的娟娟在窗户处测得丽丽家小洋房底部点的俯角为，丽丽在自家窗户处测得小山山顶的一棵竖直的大树顶端的仰角为，且与互余，已知两家水平距离米，且，大树高度米，丽丽家小洋房米，点、、在一条直线上，，，，请根据以上信息求小山的高度．
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2022-04-14更新
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166次组卷
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3卷引用：2022年山西省中考一模数学试题
2022年山西省中考一模数学试题2022年广东省揭阳市 中考数学第三次模拟测试卷（已下线）期中考试八年级数学模拟卷（范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理、实数）-【单元测试】2022-2023学年八年级数学上册分层训练AB卷（苏科版）
2 . 如图，为了测量甲楼的高度，由于甲楼的底部D不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部A测得甲楼的顶C的仰角是
，底部D的俯角是
，已知乙楼的高度是12米，求甲楼的高度．（参考数据：
，结果精确到0.1米）
的高度，由于甲楼的底部D不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部A测得甲楼的顶C的仰角是，底部D的俯角是，已知乙楼的高度是12米，求甲楼的高度．（参考数据：，结果精确到0.1米）
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2022-02-28更新
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179次组卷
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2卷引用：山西省朔州市山阴县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
3 . 某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设计了两个测量方案如下表．经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用了方案二，他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表．
（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）
（2）请你根据他们的测量数据计算公关铜像的高度．
（参考数据：
，
，
）
课题 | 测量公关铜像的高度 | |||
成员 | 组长：×××，组员：×××，×××，××× | |||
工具 | 侧倾器，皮尺等 | |||
设计方案 | 方案一 测量示 意图 |
| 说明：线段 | |
方案二 测量示 意图 |
| 说明：线段 | ||
实施方案 | 方案二的 测量数据 |
|
|
|
|
|
| ||
米，点
的距离，倾斜角
的度数．
表示侧倾器，
的高度为
在同一平面内．需要测量的数据有
的距离，倾斜角
的度数．
米（2）请你根据他们的测量数据计算公关铜像的高度．
（参考数据：
，，）
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4 . 如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米．当布料臂AC长度为8米，张角
为
时，求布料口C离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：
，
，
）
为时，求布料口C离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：，，）
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2022-01-08更新
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131次组卷
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2卷引用：山西省运城市盐湖区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
5 . 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾
到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口
．已知云梯长17米，云梯底部距地面的高
米，问发生火灾的住户窗口距离地面多商？
到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口．已知云梯长17米，云梯底部距地面的高米，问发生火灾的住户窗口距离地面多商？
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2021-10-04更新
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152次组卷
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4卷引用：山西省临汾市襄汾县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
名校
解题方法
6 . 如图．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm∕秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm∕秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，动点D恰好在AF的垂直平分线上；
（3）点D、F在运动过程中是否存在t的值，使△DEF是直角三角形，若存在求出t的值，若不存在，说明理由．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，动点D恰好在AF的垂直平分线上；
（3）点D、F在运动过程中是否存在t的值，使△DEF是直角三角形，若存在求出t的值，若不存在，说明理由．
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7 . 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
三角形中位线定理的证明
如图1，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．求证：DE∥BC，且DE＝
BC．
证明：如图2，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形（依据1）．
∴CF//DA，CF=DA．
∵DA＝BD，
∴CF//BD，CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形（依据2）．
∴CF//BC，CF=BC．
∵DE＝DF，
∴DE∥BC，且DE＝BC．
归纳总结：
上述证明过程中运用了“倍长线段法”，也有人称材料中的方法为“倍长法”（延长了三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．
任务（1）
上述材料证明过程中的“依据1”是指： ；
“依据2”是指： ；
类比探究
数学学习小组发现还可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，E为AB边的中点，求证：CE＝AB．
证明：延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，AF，如图4．
任务（2）请将证明过程补充完整．
三角形中位线定理的证明
如图1，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．求证：DE∥BC，且DE＝
BC． 证明：如图2，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形（依据1）．
∴CF//DA，CF=DA．
∵DA＝BD，
∴CF//BD，CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形（依据2）．
∴CF//BC，CF=BC．
∵DE＝
DF，∴DE∥BC，且DE＝
BC．归纳总结：
上述证明过程中运用了“倍长线段法”，也有人称材料中的方法为“倍长法”（延长了三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．
任务（1）
上述材料证明过程中的“依据1”是指： ；
“依据2”是指： ；
类比探究
数学学习小组发现还可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，E为AB边的中点，求证：CE＝
AB．证明：延长CE到点F，使EF＝CE，连接BF，AF，如图4．
任务（2）请将证明过程补充完整．
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2021-08-30更新
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363次组卷
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3卷引用：山西省大同市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
真题
名校
8 . 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角
，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角
（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度
的长．（结果精确到1米；参考数据：
）
，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）
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2021-06-18更新
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3584次组卷
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37卷引用：山西省临汾市襄汾县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
山西省临汾市襄汾县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题山西省太原市第五中学校2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试卷四川省成都市2021年中考数学真题四川省成都市第八中学校2021-2022学年九年级上学期期中数学试题山东省滕州市洪绪中学2021-2022学年九年级上学期第二次月质量监测数学试题山东省日照市东港区新营中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题浙江省绍兴市诸暨市浣江初级中学2021-2022学年九年级下学期3月月考数学试题（一模）（已下线）押四川卷14—16题 实数运算、解不等式、数据分析与解三角形应用-备战2022年中考数学临考题号押题（四川专用）2022年河南省周口市西华县九年级中考第二次模拟考试数学试题2022年江苏省徐州市树人初级中学中考二模数学试题2022年湖南省岳阳市四区三十五校联考数学试题2022年湖南省邵阳市隆回县中考二模数学试题2022年湖南省邵阳市隆回县初中学业水平考试模拟九年级数学试题河南省南阳市方城县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题甘肃省张掖市甘州区甘州中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题2022年湖南省永州市宁远县初中学业水平考试模拟数学试题（二）河南省南阳市淅川县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题2022年贵州省毕节市中考数学押题试卷（二）四川省成都市第二十中学校2021-2022学年九年级下学期3月月考数学试题福建省莆田市哲理中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题福建省厦门外国语学校石狮分校永宁校区、石狮市永宁中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题河南省南阳市南召县2022-2023学年九年级下学期数学学业水平测试试卷甘肃省酒泉市金塔县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题四川省巴中市巴州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题2023年新疆乌鲁木齐市等五地中考二模数学试题（已下线）数学（陕西卷）-学易金卷：2023年中考考前押题密卷（含考试版、全解全析、参考答案、答题卡）河南省驻马店市驿城区驻马店市实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题13 解直角三角形-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（四川专用）四川省成都市武侯区西川实验学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试题山东省潍坊市高密市立新中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题福建省莆田第九中学2023?2024学年九年级上学期第二次月考数学试题云南省昆明市五华区云南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题云南省云南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（已下线）第03讲 三角函数的实际应用（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）四川省成都市武侯区四川大学附属中学(西区学校)2022-2023学年九年级上学期期中数学试题2024年四川省中考数学考前模拟预测题四川省成都市青羊区树德实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
解题方法
9 . 如图1，在正方形ABCD中，
，点O、E在边CD上，且
，
，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD延长线于点F．
________．
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转
，点O的对应点为
，点F对应点为
，当半圆交BC于P、R两点时，若弧PR的长为
，求此时半圆与正方形ABCD重叠部分的面积．
（3）当半圆与正方形ABCD相切时，设切点为N，直接写出
的值．
，点O、E在边CD上，且，，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD延长线于点F．
________．（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转
，点O的对应点为，点F对应点为，当半圆交BC于P、R两点时，若弧PR的长为，求此时半圆与正方形ABCD重叠部分的面积．（3）当半圆
与正方形ABCD相切时，设切点为N，直接写出的值．
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2021-06-13更新
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405次组卷
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5卷引用：2023年山西省忻州市静乐县中考数学复习检测试卷
2023年山西省忻州市静乐县中考数学复习检测试卷2021年河北省廊坊市安次区中考二模数学试题（已下线）2021-2022学年沪科版九年级数学上册期末模拟测试卷（四）（已下线）2021年河北中考数学二模圆的综合题2024年河北省正定县部分学校中考一模数学试题
10 . 某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线
上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线
上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：
，
）
的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，）
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