1 . 太原汾河四期工程北起尖草坪区上兰村汾河漫水桥（中北大学往南约米），南至柴村桥北米处．太原汾河四期的建成，成为市民节假日热门打卡之地．小明和小聪相约游览，他们利用无人机和所学的数学知识对某段河流的宽度进行了测量．如图所示，小明站在河岸处测得无人机的仰角为，小聪站在小明对面河岸处测得无人机的仰角为，已知小明的身高，小聪的身高，无人机距地面的高度为（点，，，，在同一个平面内）．求河流的宽度．（精确到。参考数据：，，）

2 . 阅读与思考
下面是小亮同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日       星期六       晴

利用教学知识求穿衣镜的最小长度

今天我在一本课外读物上看到下面的材料，要想在穿衣镜（平面镜）中看到自己的全身像，穿衣镜的长度至少是身高的一半．我有如下思考：
如图1，已知人竖直站立，穿衣镜竖直放置，此时，为眼睛的位置，是人在穿衣镜中的像，，分别是过，的法线与的交点．
∵和是法线，
∴，．
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
根据平面镜成像原理可知，
在和，，，，
∴．
∴．
……
因此，要想在穿衣镜中看到自己的全身像，穿衣镜上端处和人眼与头项的中点处齐平，此时穿衣镜有最小长度，即身高的一半．

任务：
(1)从小亮的日记中还可以知道，，可以用数学知识______来解释．
A.图形的轴对称       B.图形的旋转       C.图形的位似
(2)请你补全小亮的思考过程．
(3)应用：如图2，现有一面平面镜，竖直挂在墙上，某人身高为，他站在镜子前某处，眼睛只能看到部分身长，若他想看到自己的全身像，则将镜子下移的距离至少为______．

4 . 综合与实践
问题情境：
已知正方形，点是边上一点，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，连接，．

猜想证明：
（1）当时，如图（1），
①连接，，，求证：四边形是矩形；
②试猜想线段，之间的数量关系，并说明理由．
解决问题：
（2）当时，
①______________（用含的式子表示）；
②当，且点在的延长线上时，如图（2），若，求的长．

7 . 综合与实践．
(1)问题1：如图①，以为基础，借助无刻度直尺和圆规作一个平行四边形，标注字母，并说明理由；
(2)问题2：如图②，在平行四边形中，对角线，相交于点O，取的中点E，连接并延长至点F，使得，连接，，出现了新的特殊四边形，请判断其中一个四边形的形状，并说明理由；
(3)问题3：如图③，在问题2的平行四边形中添加一个条件，使四边形变成矩形，你添加的条件是 ，说明理由；
(4)问题4：如图④，在平行四边形中，若，过点O作直线，如果，，试求出线段的长度．（提示：利用勾股定理和菱形面积公式）

9 . 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)根据题意，_______，_______，_______；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______．