1 . 如图，在边长为4的正方形中，

(1)如图1，，垂足为点O，求证：；
(2)如图2，垂直平分，且，求的长．

3 . 如图，在正方形中，，为对角线上与点A，不重合的一个动点，过点作于点于点，连接，下列结论：①；②；③：④的最小值为3，其中正确的结论是(       )

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

5 . 如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．

6 . 如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为________．

7 . 如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．
①是定值；
②平分；
③当运动到中点时，；
④当时，四边形的面积是．
其中正确的是（　　）

A．①③

B．①②③

C．①③④

D．①④

8 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在中，，点D为直线上一动点，（点D与不B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接．

(1)观察猜想
如图①当点D在线段上时，①与的位置关系为______；
②之间的数量关系为______（将结论直接写在横线上）．
(2)数学思考
如图②，当点D在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明；
(3)拓展延伸
如图③，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若已知，请求出的长．

9 . 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：
；；一定是等腰三角形； ；．其中正确结论的序号是____．

10 . 如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，其中边交于H，交于I．连接．

(1)求证：；
(2)求证：矩形是正方形；
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．