1 . 如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接．

(1)证明：平分；
(2)若，求的长．

2 . 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“优美角”．

(1)如图2，是的直径，弦，D是上一点，连接交于点P，连接．
①证明：是的“优美角”；
②设的度数为，用含的式子表示的“优美角”度数为________；
(2)如图3，在（1）的条件下，若的半径为5，的“优美角”为，，求的长．

4 . 如图，是的外接圆，弦BD交AC于点E，连接AD，，过点O作于点F，延长OF交于点G．
   
(1)请你判的形状，并给出证明，
(2)若，求的半径．

5 . 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．G是弧上任意一点（且不与A、C重合），连接、．

(1)找出图中和相等的角，并给出证明；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，当G运动到与O、D三点共线时，求此时的长．

6 . 如图，等腰内接于，，平分交的切线于点E，交于点F，点A为切点．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，的半径为5，求的长．

7 . 如图，内接于（不是直径）与相交于点，且与相切点．

(1)求证：平分；
(2)若，求的长．

10 . 如图1，，，都是的半径，．

(1)求证：；
(2)如图2，过点作半径，垂足为，连接，若，，求的长．