1 . 如图,是等边的外接圆.【问题原型】如图,连结,延长交弦于点,交于点.连结、.求证:;
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下:
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形,
∴,,
∴,则为等边三角形,
同理可得:也为等边三角形,
∴.
【方法应用】如图2,若为上任意一点,连结,,,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【拓展提升】如图③,若的半径为,且为上一点,且,则四边形的面积的是______.
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下:
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形,
∴,,
∴,则为等边三角形,
同理可得:也为等边三角形,
∴.
【方法应用】如图2,若为上任意一点,连结,,,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【拓展提升】如图③,若的半径为,且为上一点,且,则四边形的面积的是______.
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2 . 如图,四边形内接于,延长至点.若,则的大小为( )
A. | B. | C. | D. |
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2024-05-15更新
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99次组卷
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2卷引用: 2024年吉林省长春市宽城区中考一模数学试题
3 . 如图,、、、四点均在上,若,则的度数为( )
A. | B. | C. | D. |
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4 . 如图,四边形内接于,过点B作于点H,若,,则的长度为( )
A. | B. | C.2 | D. |
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5 . 【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题:“求证:圆的内接四边形对角互补.”如图①,小明给出了如下证明方法:
证明:连结、.
所对的弧为,所对的弧为.
又和所对的圆心角的和是周角.
.
同理.
这样,利用圆周角定理,我们得到了圆内接四边形的一个性质:圆的内接四边形对角互补.
【应用】如图②,四边形内接于,为延长线上一点,若,则 1 .
【探究】如图③,四边形为的内接四边形,为的直径.,延长、相交于点
(1)求证:;
(2)若,,则四边形的面积为 2 .
证明:连结、.
所对的弧为,所对的弧为.
又和所对的圆心角的和是周角.
.
同理.
这样,利用圆周角定理,我们得到了圆内接四边形的一个性质:圆的内接四边形对角互补.
【应用】如图②,四边形内接于,为延长线上一点,若,则
【探究】如图③,四边形为的内接四边形,为的直径.,延长、相交于点
(1)求证:;
(2)若,,则四边形的面积为
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6 . 【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到:圆内接四边形的对角互补.
如图①,点、、、均为上的点,,则有______°;
【问题探究】爱思考的小初同学发现:如图②,点,,,均为上的点,若,点为弧上任意一点(点不与点、重合),若点在运动的过程中始终保持,则的度数恒为.
下面是小初的证明过程:
证明:延长至点使,连接.
缺失(1)
在与中,
,
∴.
∴,
,,
又,
∴,
∴,
∴为等边三角形.
缺失(2)
请你补全缺失的证明过程.
【结论应用】如图③,点,,,均为上的点,若,点为弧上任意一点(点不与点、重合),且,的半径为2,当点在运动的过程中,四边形的周长的最大值为______.
如图①,点、、、均为上的点,,则有______°;
【问题探究】爱思考的小初同学发现:如图②,点,,,均为上的点,若,点为弧上任意一点(点不与点、重合),若点在运动的过程中始终保持,则的度数恒为.
下面是小初的证明过程:
证明:延长至点使,连接.
缺失(1)
在与中,
,
∴.
∴,
,,
又,
∴,
∴,
∴为等边三角形.
缺失(2)
请你补全缺失的证明过程.
【结论应用】如图③,点,,,均为上的点,若,点为弧上任意一点(点不与点、重合),且,的半径为2,当点在运动的过程中,四边形的周长的最大值为______.
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名校
7 . 【探究】如图①,是等边三角形,它内接于,点D是上任意一点(不与点B、C重合),连结、,求证:.
小明分析后发现,如图②,将绕点A顺时针旋转得到,再证明D、B、E三点共线,从而得到等边三角形,进而证得.
下面是小明的部分证明过程:
证明:∵绕点A顺时针旋转得到,
∴.
∵,∴.
∴D、B、E三点共线.
请你补全余下的证明过程.
【应用】如图①,是等边三角形,它内接于,点D是上任意一点(不与点B、C重合),连结、.若,则四边形的面积为______.
【拓展】如图③,等腰直角三角形内接于,,点D在上且位于直线下方,若的半径为2,则四边形的周长的最大值为______.
小明分析后发现,如图②,将绕点A顺时针旋转得到,再证明D、B、E三点共线,从而得到等边三角形,进而证得.
下面是小明的部分证明过程:
证明:∵绕点A顺时针旋转得到,
∴.
∵,∴.
∴D、B、E三点共线.
请你补全余下的证明过程.
【应用】如图①,是等边三角形,它内接于,点D是上任意一点(不与点B、C重合),连结、.若,则四边形的面积为______.
【拓展】如图③,等腰直角三角形内接于,,点D在上且位于直线下方,若的半径为2,则四边形的周长的最大值为______.
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8 .
【感知】如图①,点、、、均在上,点、、三点共线,,则为______度.
如图②,是四边形的外接圆,连结、,点在上,,若延长到点,使,连结.则易证.(不用证明)
【探究】如图③,在四边形中,,,,.求的长.
【应用】如图④,是的直径,点、在上,点是弧的中点,若,,则______
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9 . 如图,是的外接圆,,连接.若,则的度数是( )
A. | B. | C. | D. |
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2024-03-25更新
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159次组卷
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4卷引用:2024年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县三校九年级 一模数学试题
10 . 如图,的内接四边形,E为延长线上一点.若,则的度数为__________ .
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