1 . （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．

2 . 操作：小英准备制作一个表面积为的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

   

说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
纸片利用率
发现：（1）小英发现方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小英的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小英通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．（结果精确到）
探究：（3）小英感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．（结果精确到）
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．

3 . 如图1，已知有一张三角形纸片的一边，若D为边上的点，过点D作交于点E，分别过点D、E作，，垂足分别为点F、点G，把三角形纸片分别沿、、按图1方式折叠，点A、B、C分别落在、、处．若、、在矩形内或者其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
   
（1）实验操作：当时，
①若，，请在图2中画出“重叠三角形”，=          ；
②若，，如图3，=          ；
③若，，如图4，=          ；
（2）实验探究：若为等边三角形（如图5），设的长为m，若重叠三角形存在，试用含m的代数式表示重叠三角形的面积，并写出m的取值范围．

4 . （1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．

5 . 如图所示，在中，，探究以下问题：

(1)如图①所示，，把分成面积相等的两部分，即，求的长；
(2)如图②所示，，把分成面积相等的三部分，即，求的长；
(3)如图③所示，，，，…把分成面积相等的n部分，即，请直接写出的长．