1 . 阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．

解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

2 . （1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；
②在①中所画图形中，＝　　°．
（2）【问题解决】
如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

3 . 课堂上，数学老师提出了如下问题：
如图1，若线段为的角平分线，请问一定成立吗？
小明和小芳分别作了如下探究：
小明发现：如图2，当为直角三角形时，且，时，结论成立；
小芳发现：如图3，当为任意三角形时，过点作的平行线，交的延长线于点，利用此图可以证明成立．

(1)请你利用图2，证明小明的发现是正确的；
(2)如图3，当为任意三角形时，请你用小芳的解题思路或者另寻其它解题思路证明成立．
(3)小华在小芳发现的基础上进一步探究发现：利用（2）中的结论可以解决如下问题：如图4，中，，，为上一点且，交其内角角平分线于，求的值．

4 . 如图，在中，，平分，交于点，以上一点为圆心的经过点，，分别交，于点，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)试探究线段，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．

5 . 如图，是的直径，点 在上， 平分；

(1)当半径时，求的长；
(2)探究三边之间的数量关系，并说明理由．

6 . 如图①，在菱形中，，是对角线，点、分别是、上两个动点（不与端点重合），且，与交于点．

(1)求证：；
(2)如图②，连接，若于点，求证：；
(3)若，试探究与的数量关系，并证明．

7 . 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，

(1)求证：∠CAD＝∠BCE；
(2)当a＝时，求BE的长；
(3)探究的值（用含a的代数式表示）．

8 . 如图，是直径，D是 的中点，交的延长线于E，的切线交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)试探究，，三者之间的等量关系．

9 . 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
(1)概念理解：
①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°；
②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形．
(2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：．

10 . 在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．

【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．