解题方法
1 . 在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，
．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合
．
．【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)
的值为______．(2)若
，则MN的长为______．
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2022-03-21更新
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654次组卷
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7卷引用：专题4.45 三角形相似与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）
（已下线）专题4.45 三角形相似与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题27.42 相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题6.43 相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）27.2.2相似三角形的性质课后作业B层吉林省长春市汽开区2021-2022学年上学期九年级期末数学试题（已下线）专题22 手拉手旋转相似模型-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（北师大版）（已下线）第12讲 相似三角形中的“手拉手”旋转型-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）
20-21九年级·全国·课后作业
2 . 如图，
是
的直径，点C是上一点，
，D是直径上一动点，连接
并过点D作的垂线，与的其中一个交点记为点E（点E位于直线上方或左侧），连接
．已知
，设A、D两点间的距离为
，D、E两点间的距离为
，A、E两点间的距离为
．
小雪根据学习函数的经验，分别对函数
，
随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与x的几组对应值，请将表格补充完整；
（2）在同一平面直角坐标系
中，描出补全后的表中各组数值所对应的点
，
，并画出函数
的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当
时，
的长度约为________
．
是的直径，点C是上一点，，D是直径上一动点，连接并过点D作的垂线，与的其中一个交点记为点E（点E位于直线上方或左侧），连接．已知，设A、D两点间的距离为，D、E两点间的距离为，A、E两点间的距离为．小雪根据学习函数的经验，分别对函数
，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了
，与x的几组对应值，请将表格补充完整；
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
| 0 | 1.35 | 2.21 | 3.00 | 3.97 | 4.50 | 4.94 | 5.20 |
| 0 | 1.10 | 1.58 | 1.56 | 0.95 | 3.00 |
中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当
时，的长度约为________．
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3 . 如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝
，求BF的长度．
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝
，求BF的长度．（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
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2021-10-19更新
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510次组卷
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4卷引用：专题3.34 圆的综合题-圆与四边形（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）
（已下线）专题3.34 圆的综合题-圆与四边形（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题3.32 圆的综合题-圆与相似（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）第20讲 圆单元复习-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）2021年福建省泉州市永春县初中学业质量检查数学试题
20-21九年级·全国·课后作业
4 . 如图，点C是中直径上的一个动点，过点C作
交于点D，点M是直径上一固定点，作射线
交于点N．已知
，设线段
的长度为，线段
的长度为
．
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探索．
下面是小东的探究过程，请补充完整
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（保留一位小数）
并在图2中建立平面直角坐标系，画出该函数的图象；
（2）结合画出的函数图象，解决问题：当
时，x的取值约为________．
中直径上的一个动点，过点C作交于点D，点M是直径上一固定点，作射线交于点N．已知，设线段的长度为，线段的长度为．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探索．
下面是小东的探究过程，请补充完整
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（保留一位小数）
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4 | 3.3 | 2.8 | 2.5 | 2.1 | 2 |
（2）结合画出的函数图象，解决问题：当
时，x的取值约为________．
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5 . 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．
(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；
(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？
(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；
(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？
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2022-06-26更新
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2007次组卷
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13卷引用：专题4.23 利用相似三角形测高（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）
（已下线）专题4.23 利用相似三角形测高（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题4.33 相似三角形几何模型-A型图（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）27.2.4 相似三角形的应用列举（分层练习）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）（已下线）专题27.28 相似三角形几何模型-A型图（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题6.28 用相似三角形解决问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）（已下线）专题6.31 相似三角形几何模型-A型图（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）江苏省常州市溧阳市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题（已下线）专题4.22 利用相似三角形测高（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）第四章 图形的相似（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年九年级数学上册分层训练AB卷（北师大版）山东省青岛市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题山东省青岛市南海信学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）山东省济南市高新区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题变式题21-26青岛版九年级上册第1章图形的相似单元测试数学试题
真题
6 . 已知在平面直角坐标系中，点
是反比例函数
图象上的一个动点，连结
的延长线交反比例函数
的图象于点
，过点作
轴于点
．
（1）如图1，过点作
轴于点
，连结
．
①若
，求证：四边形
是平行四边形；
②连结
，若
，求
的面积．
（2）如图2，过点作
，交反比例函数的图象于点
，连结
．试探究：对于确定的实数
，动点在运动过程中，
的面积是否会发生变化？请说明理由．
中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．（1）如图1，过点
作轴于点，连结．①若
，求证：四边形是平行四边形；②连结
，若，求的面积．（2）如图2，过点
作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
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2021-06-15更新
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3151次组卷
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13卷引用：专题6.32 反比例函数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）
（已下线）专题6.32 反比例函数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题26.33 反比例函数（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）浙江省湖州市2021年中考数学真题（已下线）专题23 函数与几何综合【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（已下线）（广东深圳卷）2022年中考数学第一次模拟考试（已下线）专题26 反比例函数与几何综合解答题专项训练-备战2022年中考数学临考题号押题（全国通用）（已下线）专题16 相似三角形的应用-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)（已下线）专题18 平行四边形的性质与判定-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)（已下线）考点17 平行四边形的性质与判定-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)（已下线）专题06 反比例函数-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（浙江专用）（已下线）专题04 方程（组）与不等式（组）-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（浙江专用）（已下线）考点15 相似三角形的应用（已下线）期中模拟卷 （2）-【单元测试】2022-2023学年九年级数学上册分层训练AB卷（湘教版）
7 . 综合与实践
问题情境：在Rt
中，
，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
(1)操作发现：如图①，当
时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①
的度数为______；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
(2)探究证明：如图2，当
时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若
，在点D的运动过程中，当
的形状为等腰三角形时，直接写出此时的面积．
问题情境：在Rt
中，，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．(1)操作发现：如图①，当
时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①
的度数为______；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
(2)探究证明：如图2，当
时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若
，在点D的运动过程中，当的形状为等腰三角形时，直接写出此时的面积．
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2022-04-28更新
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590次组卷
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7卷引用：专题4.42 相似三角形几何模型-双垂线等角（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）
（已下线）专题4.42 相似三角形几何模型-双垂线等角（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题27.37 相似三角形几何模型-双垂线等角（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题6.40 相似三角形几何模型-双垂线等角（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）2022年山西省晋中市平遥县一模数学试题（已下线）专题09 几何变换-5年（2018-2022）中考1年模拟数学分项汇编（山西专用）2023年辽宁省朝阳市第一中学中考一模数学试题2023年辽宁省朝阳市部分学校联考二模数学模拟试题
解题方法
8 . 一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现
且
．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形
绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形
，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当
与
的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且
，
，
（如图3），连接
，
．试求
的值（用a，b表示）．
且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形
绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形
和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形
和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．
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2021-06-10更新
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977次组卷
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7卷引用：专题4.45 三角形相似与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）
（已下线）专题4.45 三角形相似与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题27.42 相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题6.43 相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）2021年湖南省岳阳市城区二十八校中考数学一模试卷（已下线）专题27.40 相似三角形几何模型-旋转相似（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）第12讲 相似三角形中的“手拉手”旋转型-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）福建省三明市泰宁县第二中学2023-2024学年九年级上学期1期中数学试题
9 . 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．
(2)探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
(3)若cosB＝
，AD＝2，求FD的长．
(2)探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
(3)若cosB＝
，AD＝2，求FD的长．
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2022-02-26更新
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406次组卷
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6卷引用：专题28.2 锐角三角函数（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
（已下线）专题28.2 锐角三角函数（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）黑龙江省大庆市龙凤区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题1黑龙江省大庆市龙凤区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题22022年山东省泰安市东平县中考数学一模试题（已下线）专题12 切线的证明与计算-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（山东专用）2024年广东省汕头市濠江区中考一模数学试题
19-20九年级·浙江金华·期末
解题方法
10 . 如图1，在
中，
，在斜边上取一点D，过点D作
，交于点E．现将
绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得
．
（1）①求证：
；
②若
，求的长；
（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，
设，若
，
，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“
”去掉，其它条件不变，若
，设
，
，试探究
三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．（1）①求证：
； ②若
，求的长；（2）如图3，将原题中的条件“
”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“
”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
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2021-02-01更新
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585次组卷
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6卷引用：专题4.45 三角形相似与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）
（已下线）专题4.45 三角形相似与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题27.42 相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题6.43 相似三角形与旋转综合专题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）（已下线）【新东方】义乌初中数学00017（已下线）专题27.40 相似三角形几何模型-旋转相似（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题22 手拉手旋转相似模型-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（北师大版）
