1 . 阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，中，，点在上，，（其中），的平分线与相交于点，垂足为，探究线段与的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现与相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段与的数量关系．”
……
老师：“保留原题条件，延长图1中的，与相交于点（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：；
（2）探究线段与的数量关系（用含的代数式表示），并证明；
（3）直接写出的值（用含的代数式表示）．

2 . 探究：如图①，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点M．求证：．
应用：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD相交于点M，连结AC．若ME＝3，则AC的长为　 　．

3 . 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE=90°．当BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．

请回答：
（1）小明发现的与CD相等的线段是 ．
（2）证明小明发现的结论；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，BD=2DC，点E在AD上，且∠BEC=135°，求的值．

4 . 如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．
（1）求证：△ABP∽△PCN；
（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；
（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．

5 . 如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（1）①∠BCE与∠CDF的大小关系是_______________；
②证明：GF⊥BF；
（2）探究G落在边DC的什么位置时，BF=BC，请说明理由.

6 . （1）探究：如图①，在矩形中，，，点是对角线上的一点，Rt△PEF的两条直角边，分别交，于点，，若PE//AB，PF//AD，求的值．
（2）应用：如图②，在矩形中，，，点是对角线上的一点，Rt△PEF的两条直角边，分别交，于点，，则=　       ．

7 . 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
   
【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证∶△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．
【深入探究】如图③，ADBC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
（1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
（2）若AD=3，BC=5，试求AB的长．

8 . 如图，将菱形纸片沿对角线剪开，得到和，固定，并把与叠放在一起．

操作：如图，将的顶点固定在的边上的中点处，绕点在边上方左右旋转，设旋转时交于点（点不与点重合），交于点（点不与点重合）．
求证：
操作：如图，的顶点在的边上滑动（点不与、点重合），且始终经过点，过点作，交于点，连接．
探究：________．请予证明．

9 . 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．
（1）求证：CE//AD； 
（2）探究三条线段AD，CD，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD=6， AB=8．求线段DF，EF的长．

10 . 如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC²＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．
①BC²＝BD·AB；②CD²＝AD·BD.