真题
1 . 【问题情境】如图,在中,,.点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段(旋转角小于),连接,,以为底边在其上方作等腰三角形,使,连接.
【尝试探究】
(1)如图1,当时,易知;
(3)如图4,当,且点B,E,F三点共线时.若,,请直接写出的长.
【尝试探究】
(1)如图1,当时,易知;
如图2,当时,则与的数量关系为 ;
(2)如图3,写出与的数量关系(用含α的三角函数表示).并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图4,当,且点B,E,F三点共线时.若,,请直接写出的长.
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真题
名校
2 . 【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图,即).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离,,,求建筑物AB的高度.
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出;再将镜子移动至处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出.经测得,小军的眼睛离地面距离,,求这个广告牌AG的高度.
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出;③测出坡长;④测出坡比为(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).
【活动探究】
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出;再将镜子移动至处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出.经测得,小军的眼睛离地面距离,,求这个广告牌AG的高度.
【应用拓展】
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出;③测出坡长;④测出坡比为(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).
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2023-08-01更新
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1538次组卷
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11卷引用:2023年江苏省宿迁市中考数学真题
2023年江苏省宿迁市中考数学真题广东省深圳市部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题广东省佛山市第六中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(已下线)专题06锐角三角函数的应用大题专练(五大类型)-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编(苏科版)(已下线)九年级上学期期末模拟测试卷02-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练(浙教版)24-解直角三角形的实际应用(已下线)第2讲 锐角三角函数与解直角三角形(已下线)热点06++全等三角形与特殊三角形1(已下线)专题06 解直角三角形的应用(仰角俯角、坡度、方位角等问题)-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)山东省威海荣成市16校联盟(五四制)2023-2024学九年级下学期期中考试数学试题(已下线)查补重难点05 三角形与相似三角形-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关(江苏专用)
真题
名校
3 . 小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后,进行变式、探究与思考:如图1,的直径垂直弦AB于点E,且,.
(1)复习回顾:求的长.
(2)探究拓展:如图2,连接,点G是上一动点,连接,延长交的延长线于点F.
①当点G是的中点时,求证:;
②设,,请写出y关于x的函数关系式,并说明理由;
③如图3,连接,当为等腰三角形时,请计算的长.
(1)复习回顾:求的长.
(2)探究拓展:如图2,连接,点G是上一动点,连接,延长交的延长线于点F.
①当点G是的中点时,求证:;
②设,,请写出y关于x的函数关系式,并说明理由;
③如图3,连接,当为等腰三角形时,请计算的长.
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2023-08-01更新
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1671次组卷
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7卷引用:2023年浙江省嘉兴市中考数学真题
2023年浙江省嘉兴市中考数学真题(已下线)专题32 函数与几何综合问题(共10道)-学易金卷:2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)江苏省苏州市姑苏区草桥中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题(已下线)专题5 回顾教材(已下线)专题5 分类思想(已下线)专题7 化归思想(已下线)第5讲 探究题
真题
名校
4 . 综合与实践
【思考尝试】
(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形ABCD中,E是边上一点,于点F,,,.试猜想四边形的形状,并说明理由;
【实践探究】
(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形中,E是边上一点,于点F,于点H,交于点G,可以用等式表示线段,,的数量关系,请你思考并解答这个问题;
【拓展迁移】
(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形中,E是边上一点,于点H,点M在上,且,连接,,可以用等式表示线段,的数量关系,请你思考并解答这个问题.
【思考尝试】
(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形ABCD中,E是边上一点,于点F,,,.试猜想四边形的形状,并说明理由;
【实践探究】
(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形中,E是边上一点,于点F,于点H,交于点G,可以用等式表示线段,,的数量关系,请你思考并解答这个问题;
【拓展迁移】
(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形中,E是边上一点,于点H,点M在上,且,连接,,可以用等式表示线段,的数量关系,请你思考并解答这个问题.
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2023-06-30更新
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2208次组卷
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18卷引用:2023年甘肃省兰州市中考数学真题
2023年甘肃省兰州市中考数学真题辽宁省丹东市第五中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(已下线)专题31 几何综合压轴题(共23道)-学易金卷:2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题甘肃省兰州市第二十二中学2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题甘肃省兰州市七里河区第二十二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题2024年辽宁省沈阳市中考一模考前数学模拟预测题(一)2024年吉林省初中学业水平考试数学模拟预测题陕西省宝鸡市新建路中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题湖北省黄石市第八中学教联体2023-2024学年九年级下学期月考数学试题湖北省黄冈市红安县2023-2024学年九年级下学期月考数学试题2024年山东省枣庄市峄城区中考一模数学模拟试题2024年辽宁省沈阳市和平区数学零模后模拟预测题山东省聊城市聊城文轩初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题山东省泰安市宁阳县第三中学(五四制)2023-2024学年九年级中考一模数学试题2024年江苏省盐城市东台市第二教育联盟中考模拟考试一模数学试题(已下线)突破05 平移、旋转、折叠等操作探究问题(4类重点考向)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)(已下线)专题11 四边形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)
真题
名校
5 . 【问题呈现】
和都是直角三角形,,连接,,探究,的位置关系.
(2)如图2,当时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
【拓展应用】
(3)当时,将绕点C旋转,使三点恰好在同一直线上,求的长.
和都是直角三角形,,连接,,探究,的位置关系.
(1)如图1,当时,直接写出,的位置关系:____________;
(2)如图2,当时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
【拓展应用】
(3)当时,将绕点C旋转,使三点恰好在同一直线上,求的长.
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2023-06-22更新
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1921次组卷
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27卷引用:2023年湖北省黄冈市中考数学真题
2023年湖北省黄冈市中考数学真题(已下线)专题31图形的旋转(优选真题60道)-学易金卷:三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编【全国通用】辽宁省鞍山市千山区实验教育集团2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题(已下线)2023年湖北省黄冈市中考数学真题变式题21-24题山东省济南市平阴县教育教学研究中心2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(已下线)专题4.46 相似三角形几何模型(旋转模型)(培优练)-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)河南省周口市淮阳区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题江苏省泰州市海陵区民兴中英文学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题江苏省苏州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题山东省济南市平阴县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题河南省漯河市临颍县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题河南省新乡市辉县市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(已下线)专题2 迁移信息黑龙江省哈尔滨市香坊区第三十九中学2023-2024学年九年级下学期开学测数学(五四制)试题河南省鹤壁市浚县实验初级中学2023-2024学年九年级上学期11月月考数学试题山东省济南市商河县清华园学校2023-2024学年上学期九年级月考数学测试题浙江省金华市兰溪市第八中学2023-2024学年上学期学习能力调查(一)九年级数学试题湖北省十堰市郧西县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题2024年河南省汝南县中考一模数学模拟试题江苏省南通市如皋市石庄镇初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次阶段性数学试题2024年中考数学模拟预测题五2024年山东省威海市经济技术开发区皇冠中学中考一模数学模拟试题2024年湖北省丹江口市中考二模数学试题2024年湖北省十堰市竹山县中考模拟数学试题(已下线)专题10 三角形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)湖北省黄石市阳新县陶港镇初级中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题2024年山东省济南市商河县中考二模数学试题
真题
6 . 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下:如图,正方形的对角线相交于点,点又是正方形的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形绕点怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?(此问题不需要作答)
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形的对角线相交于点,点落在线段上,(为常数).
(1)如图1,将的直角顶点与点重合,两直角边分别与边,相交于点,.
①填空:______;
②求证:.(提示:借鉴解决【问题背景】的思路和方法,可直接证明;也可过点分别作,的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.)
【类比探究】
(2)如图2,将图1中的沿方向平移,判断与的数量关系(用含的式子表示),并说明理由.
【拓展运用】
(3)如图3,点在边上,,延长交边于点,若,求的值.
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下:如图,正方形的对角线相交于点,点又是正方形的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形绕点怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?(此问题不需要作答)
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形的对角线相交于点,点落在线段上,(为常数).
【特例证明】
(1)如图1,将的直角顶点与点重合,两直角边分别与边,相交于点,.
①填空:______;
②求证:.(提示:借鉴解决【问题背景】的思路和方法,可直接证明;也可过点分别作,的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.)
【类比探究】
(2)如图2,将图1中的沿方向平移,判断与的数量关系(用含的式子表示),并说明理由.
【拓展运用】
(3)如图3,点在边上,,延长交边于点,若,求的值.
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2023-10-10更新
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1518次组卷
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8卷引用:2023年湖北省襄阳市中考数学真题
2023年湖北省襄阳市中考数学真题(已下线)湖北省襄阳华侨城实验学校2023-2024学年九年级上学期8班数学周测(14)试卷(已下线)清单15 相似三角形的性质与判定(3个考点梳理+17种题型解读+提升训练)-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲(苏科版)湖北省襄阳五中华侨城实验学校2023-2024学年九年级下学期数学周测(1)(已下线)专题5 回顾教材江苏省盐城市滨海县 2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题2024年江西省九江市第十一中学中考一模数学试题(已下线)突破05 平移、旋转、折叠等操作探究问题(4类重点考向)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)
7 .
(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出的值.
(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且==.连接BD,CE.
①求的值;
②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值.
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2022-07-09更新
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3213次组卷
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31卷引用:2022年山东省烟台市中考数学真题
2022年山东省烟台市中考数学真题(已下线)专题13 相似三角形-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第2期)山东省潍坊市青州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题四川省达州市通川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(已下线)第五节 相似三角形03综合测云南省昆明市五华区云南大学附属中学呈贡校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题湖北省武汉市蔡甸区求新联盟2022-2023学年九年级3月月考数学试卷2023年湖南省岳阳市中考三模数学试题(已下线)专题12 三角形综合问题-学易金卷:5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(全国通用)山东省东营市东营区育才学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(已下线)专题18图形的相似(精选33道)-学易金卷:三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编【山东专用】(已下线)专题32图形的相似(优选真题60道)-学易金卷:三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编【全国通用】湖北省襄阳市谷城县谷伯中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题江西省抚州市实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题陕西省西安市西光中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(已下线)湖北省襄阳华侨城实验学校2023-2024学年九年级8班上学期数学周练15(已下线)清单18 相似三角形的10大经典模型-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲(苏科版)湖南省新市教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题河南省周口市第十九初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(已下线)专题6 类比思想辽宁省盘锦市双台子区实验中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题2023年山东省潍坊市初中学业水平考试数学一模预测题二2023年山东省济宁市兖州区中考二模数学模拟试题安徽淮南市西部地区2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题江苏省连云港市新海实验中学2023-2024学年九年级下学期数学第一次月考题2023年江苏省苏州中考数学考前模拟预测题(一)山东省泰安市2024年初中学业水平数学模拟试题2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级下学期第一次综合评价数学模拟试题(已下线)专题13几何类比探究题型(4大模型+解题技巧)-2024年中考数学答题技巧与模板构建(全国通用)2024年江苏省连云港市灌云县中考数学二模试题
真题
8 . 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象.发现:如图1所示,该类型图象上任意一点M到定点 F(0,)的距离MF,始终等于它到定直线l:y=﹣上的距离MN(该结论不需要证明),他们称:定点F为图象的焦点,定直线l为图象的准线,y=﹣叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点,FH=2OF= ,例如,抛物线y=x2,其焦点坐标为F(0,),准线方程为l:y=﹣.其中MF=MN,FH=2OH=1.
(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线l的方程: , .
(2)【技能训练】
如图2所示,已知抛物线y=x2上一点P到准线l的距离为6,求点P的坐标;
(3)【能力提升】
如图3所示,已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项,即满足:==.后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.
如图4所示,抛物线y=x2的焦点F(0,1),准线l与y轴交于点H(0,﹣1),E为线段HF的黄金分割点,点M为y轴左侧的抛物线上一点.当=时,请直接写出△HME的面积值.
(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线l的方程: , .
(2)【技能训练】
如图2所示,已知抛物线y=x2上一点P到准线l的距离为6,求点P的坐标;
(3)【能力提升】
如图3所示,已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项,即满足:==.后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.
如图4所示,抛物线y=x2的焦点F(0,1),准线l与y轴交于点H(0,﹣1),E为线段HF的黄金分割点,点M为y轴左侧的抛物线上一点.当=时,请直接写出△HME的面积值.
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2022-06-28更新
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1087次组卷
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8卷引用:2022年湖北省鄂州市中考数学真题
2022年湖北省鄂州市中考数学真题(已下线)专题22 与二次函数相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第2期)(已下线)2022年湖北省随州市中考数学真题变式题21-24题(已下线)2022年湖北省鄂州市中考数学真题变式题21-24题(已下线)2022年湖北省武汉市中考数学真题变式题21-24题(已下线)二次函数的综合题03综合测(已下线)2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题变式题20-23题2024年广东省珠海市梅华中学中考一模数学试题
真题
9 . 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点、、、、均为格点.
【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图①的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、,相交于点并给出部分说理过程,请你补充完整:
解:在网格中取格点,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中,
在Rt△CDE中, ,
所以.
所以∠=∠.
因为∠ ∠ =∠ =90°,
所以∠ +∠ =90°,
所以∠ =90°,
即⊥.(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心,为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点P,使=,写出作法,并给出证明:
(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦上找出一点P.使=·,写出作法,不用证明.
【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图①的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、,相交于点并给出部分说理过程,请你补充完整:
解:在网格中取格点,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中,
在Rt△CDE中, ,
所以.
所以∠=∠.
因为∠ ∠ =∠ =90°,
所以∠ +∠ =90°,
所以∠ =90°,
即⊥.(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心,为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点P,使=,写出作法,并给出证明:
(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦上找出一点P.使=·,写出作法,不用证明.
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2022-06-21更新
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2020次组卷
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8卷引用:2022年江苏省宿迁市中考数学真题
2022年江苏省宿迁市中考数学真题 (已下线)专题14 圆与正多边形-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第1期)(已下线)专题15 三角形解答题-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(江苏专用)(已下线)专题19 圆解答题-三年(2020-2022)中考数学真题分项汇编(江苏专用)(已下线)2022年江苏省宿迁市中考数学变式题24-28(已下线)第一节 圆的性质及其证明与计算03综合测江苏省沭阳县南洋学校2023-2024学年九年级上学期第五次综合练习数学试题2023年江苏省徐州市沛县中考数学模拟预测题
真题
10 . 【问题情境 建构函数】
(1)如图1,在矩形中,是的中点,,垂足为.设,试用含的代数式表示.
(2)在上述表达式中,与成函数关系,其图像如图2所示.若取任意实数,此时的函数图像是否具有对称性?若有,请说明理由,并在图2上补全函数图像.
(3)在“取任意实数”的条件下,对上述函数继续探究,得出以下结论:①函数值随的增大而增大;②函数值的取值范围是;③存在一条直线与该函数图像有四个交点;④在图像上存在四点,使得四边形是平行四边形.其中正确的是__________.(写出所有正确结论的序号)
【抽象回归 拓展总结】
(4)若将(1)中的“”改成“”,此时关于的函数表达式是__________;一般地,当取任意实数时,类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程,探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可).
(1)如图1,在矩形中,是的中点,,垂足为.设,试用含的代数式表示.
【由数想形 新知初探】
(2)在上述表达式中,与成函数关系,其图像如图2所示.若取任意实数,此时的函数图像是否具有对称性?若有,请说明理由,并在图2上补全函数图像.
【数形结合 深度探究】
(3)在“取任意实数”的条件下,对上述函数继续探究,得出以下结论:①函数值随的增大而增大;②函数值的取值范围是;③存在一条直线与该函数图像有四个交点;④在图像上存在四点,使得四边形是平行四边形.其中正确的是__________.(写出所有正确结论的序号)
【抽象回归 拓展总结】
(4)若将(1)中的“”改成“”,此时关于的函数表达式是__________;一般地,当取任意实数时,类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程,探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可).
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2023-06-17更新
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2319次组卷
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9卷引用:2023年江苏省连云港市中考数学真题
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