真题
1 . 设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．
∴
，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．
∴
，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC
∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
您最近一年使用：0次
真题
2 . 综合与实践
如图，在
中，点D是斜边
上的动点（点D与点A不重合），连接
，以为直角边在的右侧构造
，
，连接
，
．
（1）如图1，当
时，与
之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当
时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于
对称，连接
，
，
，如图3．已知
，设
，四边形
的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当
时，请直接写出的长度．
如图，在
中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
（1）如图1，当
时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；类比迁移
（2）如图2，当
时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于
对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当
时，请直接写出的长度．
您最近一年使用：0次
真题
名校
3 . 【特例感知】
（1）如图1，在正方形
中，点P在边的延长线上，连接
，过点D作
，交
的延长线于点M．求证：
．
【变式求异】
（2）如图2，在中，
，点D在边上，过点D作
，交
于点Q，点P在边的延长线上，连接
，过点Q作
，交射线于点M．已知
，
，
，求
的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，
，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作
，
的边
交射线于点M．若
，
（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．
（1）如图1，在正方形
中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】
（2）如图2，在
中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．【拓展应用】
（3）如图3，在
中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．
您最近一年使用：0次
2023-10-19更新
|
2144次组卷
|
12卷引用：2023年浙江省湖州市中考数学真题
2023年浙江省湖州市中考数学真题 四川省成都市武侯区成都市第七中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（已下线）寒假作业14 相似三角形的基本模型-【寒假分层作业】2024年九年级数学寒假培优练（人教版）安徽省安庆市第二中学(南区)2023-2024学年九年级上学期月考(二)数学试题（已下线）第1讲 相似三角形（已下线）专题7 化归思想浙江省湖州市吴兴区第四中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题2024年山东省庆云县中考第一次练兵考试数学模拟试题（已下线）专题16 相似三角形（考点回归+练透中考6类核心重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）（已下线）重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练（11大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（已下线）专题10 三角形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）2024年四川省达州市开江县九年级中考模拟测试（二）数学试题
真题
4 . 【建立模型】(1)如图
，点
是线段
上的一点，
，
，
，垂足分别为
，，
，
．求证：
；
【类比迁移】(2)如图
，一次函数
的图象与
轴交于点
、与
轴交于点，将线段
绕点逆时针旋转
得到
、直线
交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图
，抛物线
与轴交于，两点
点在点的左侧
，与轴交于点，已知点
，
，连接
．抛物线上是否存在点
，使得
，若存在，求出点的横坐标．
，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；【类比迁移】(2)如图
，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．①求点
的坐标；②求直线
的解析式；【拓展延伸】(3)如图
，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标． 
您最近一年使用：0次
2023-06-19更新
|
2362次组卷
|
10卷引用：2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题
2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题 （已下线）专题08 二次函数图象性质与综合应用（44题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题12 三角形综合问题-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题32 函数与几何综合问题（共25题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题变式题20-23题2024年河北省邯郸市育华中学中考一模数学试题河北省邯郸市育华中学中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（已下线）突破06 函数与几何图形动态探究题（5类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）（已下线）重难点04 二次函数综合(7大题型+满分技巧+限时分层检测)-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）2024年山东省菏泽市巨野县九年级中考一模数学试题
真题
5 . 如图，在四边形中，对角线与
相交于点O，记
的面积为
，
的面积为
．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在
上取一点E，使
，过点E作
交
于点F，点H为的中点，
交于点G，且
，若
，求
值．
中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若
与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在
上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
您最近一年使用：0次
真题
名校
6 . 教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形中，
，
．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：______；
(2)如图1，在
中，
，垂足为，
与
关于所在的直线对称，
与
关于所在的直线对称，延长
，
相交于点
．请写出图中的“筝形”： ______；（写出一个即可）
应用拓展
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，
，连接
．
①求证：
；
②求证：
．
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形
中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：______；
(2)如图1，在
中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中的“筝形”： ______；（写出一个即可）应用拓展
(3)如图2，在（2）的条件下，连接
，分别交，于点，，连接．①求证：
；②求证：
．
您最近一年使用：0次
2023-01-21更新
|
986次组卷
|
7卷引用：2022年山东省德州市中考数学真题
2022年山东省德州市中考数学真题（已下线）广西壮族自治区南宁市青秀区三美学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题14四边形解答题（精选32道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【山东专用】（已下线）2024年湖北省初中学业水平考试一模考试数学试题及变式题21-24题（已下线）专题5 回顾教材2024年河南省中考模拟数学模拟预测题2024年广东省深圳市光明区李松萌学校中考三模数学试题
真题
7 . 【情境再现】
甲、乙两个含
角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接
，如图③所示，交
于E，交
于F，通过证明
，可得
．
请你证明：
．
【迁移应用】
延长
分别交
所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明
与的位置 关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含
角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接
，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明
与的数量 关系．
甲、乙两个含
角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得．请你证明：
．【迁移应用】
延长
分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含
角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的
您最近一年使用：0次
2022-07-07更新
|
2086次组卷
|
13卷引用：2022年山东省潍坊市中考数学真题
2022年山东省潍坊市中考数学真题（已下线）专题13 相似三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（已下线）第五节 图形的旋转与位似03综合测（已下线）题型一 与三角形、四边形、圆有关的计算（含图形变化）（已下线）黄金卷1-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（抚本铁辽葫专用）2023年山东省济南市平阴县二模数学试卷2023年山东省东营市广饶县实验中学中学二模数学试题2023年山东省济南市平阴县中考二模数学试题（已下线）专题12三角形（精选37题）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【山东专用】（已下线）2023年济南二模（几何综合）（已下线）12.1+全等三角形(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列3【考点闯关】（人教版）（已下线）专题14 全等三角形（考点回归+练透中考6类核心重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）2023年山东省东营市广饶实验中学中考数学模拟预测题（5月份）
真题
8 . 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证
＝
．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝
，求DE的长（用含m，的式子表示）．
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证
＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
＝；(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝
，求DE的长（用含m，的式子表示）．
您最近一年使用：0次
2022-06-22更新
|
2112次组卷
|
31卷引用：2022年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学真题
2022年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学真题（已下线）专题15 相似三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第1期）（已下线）2022年湖北省黄冈市中考数学真题变式题21-24题河南省南阳市南召县城关镇第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题河南省南阳市南召县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题吉林省长春市第一〇八学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试题2023年湖北省鄂州市梁子湖区涂家垴镇中学中考数学模拟试卷2023年江苏省徐州市铜山区中考一模数学试题（已下线）黄金卷08-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（江苏徐州专用）2023年吉林省松原市前郭县西部学区中考一模数学试题（已下线）专题11 图形的相似-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（江苏专用）2023年河南省商丘市夏邑县中考一模数学试题2023年甘肃省白银市会宁县中考一模数学试题 山西省临汾市侯马市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题山西省晋城市阳城县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题2023年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县松原市前郭县西部学区中考一模数学试题辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题吉林省吉林市第七中学2022-2023学年九年级下学期学科检测数学试题2021年广东省梅州市梅江区中考一模数学试题2021年广东省/东莞市石龙镇中考一模数学试题（已下线）2023年吉林省一模（几何探究题）（已下线）2023年河南省一模（几何综合1）福建省泉州实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题河南省鹤壁市浚县部分校2023-2024学年九年级上学期期中考前联考数学试题河南省新乡市原阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题福建省惠安螺城中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题广东省佛山市顺德区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题2023年河南省商丘市夏邑县普通高中招生第一次模拟考试数学模拟试题（已下线）重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练（11大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题2024年广东省梅州市梅江区中考一模数学试题
9 . 综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）
_________
，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的
绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的
的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则
________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：
．
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）
_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；转一转：将图1中的
绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的
的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：
．
您最近一年使用：0次
2021-06-28更新
|
1295次组卷
|
3卷引用：黑龙江省齐齐哈尔市2021年中考数学真题
10 . 【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：
．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若
，
，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若
，，求
的值（用含k的代数式表示）．
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：
．【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若
，，求线段DE的长．【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若
，，求的值（用含k的代数式表示）．
您最近一年使用：0次
2021-06-24更新
|
4456次组卷
|
33卷引用：浙江省衢州市2021年中考数学真题
浙江省衢州市2021年中考数学真题辽宁省沈阳市第一三四中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题广东省清远市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题福建省泉州市石狮市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题2022年湖南省永州市零陵区二模数学试题（已下线）考点22 图形的对称、平移和旋转-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)（已下线）专题23 图形的对称、平移与旋转-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)（已下线）专题19 特殊平行四边形-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)（已下线）专题41 几何问题（2）之综合问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）2022年湖南省岳阳市四区三十五校联考数学试题2022年内蒙古包头市北重一中三模数学试题（已下线）专题12 三角形与四边形重难点题型-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（浙江专用）（已下线）专题16 相似三角形与位似图形-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（浙江专用）浙江省杭州市西湖区杭州东方中学2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题 福建省泉州市南安市实验中学2022--2023学九年级上学期期中考试数学试卷 广东省清远市连州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 广东省深圳市罗湖外语初中学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷（已下线）期末高频压轴必杀题-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（北师大版）甘肃省天水市清水县第八中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）第14讲 相似三角形中的“一线三等角”模型-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）2023年广东省深圳市中考数学初中学业水平考试模拟试卷（二）2023年福建省南安实验中学中考二模数学试题（已下线）专题14 矩形，菱形，正方形-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（浙江专用）（已下线）2023年深圳东莞二模(几何综合)（已下线）2023年福建二模（几何综合）福建省石狮市区联考2021-2022学年九年级上学期期末数学试题广东省 深圳市南山区哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2023-2024学年九年级上学期数学月考数学试题（已下线）热点06 四边形（2大考点5种题型+重难通关练+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）2024年江苏省常州市九年级中考模拟练习（Ⅱ）数学试题（已下线）数学（江苏南通卷）-学易金卷：2024年中考考前押题密卷数学（福建卷）-【试题猜想】2024年中考考前最后一卷（已下线）数学-2024年中考考前最后一课（3）2024年江西省鹰潭市中考模拟数学试题
