1 . 如图1所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其内角平分线，过点D的直线B₁C₁⊥AC于点C₁，交AB的延长线于点B₁．
（1）请你探究：是否都成立？请说明理由．
（2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E为AB上一点且AE＝5，CE交内角平分线AD于点F，试求的值．

2 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．
   
（1）如图1，若∠B＝45°，则＝　　；
（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝　　；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？

3 . 如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．

   

4 . 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点为抛物线的顶点，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设，，求的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与相似，若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

5 . （1）如图1，在中，P是边上的一点，连接，要使，还需要补充的一个条件是______或______；

（2）请你参考上而的图形和结论，探究、解答下面的问题：如图2，在中，，延长到点D，使，连接，若.求的度数.

6 . 如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=7，AE=，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．

7 . 探究：如图①，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点M．求证：．
应用：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD相交于点M，连结AC．若ME＝3，则AC的长为　 　．

8 . 请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图（1），将角尺放在正方形上，使角尺的直角顶点与正方形的顶点重合，角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．求证：．

（2）如图（2），移动角尺，使角尺的顶点始终在正方形的对角线上，其余条件不变，请你思考后直接回答和的数量关系：______（用“＝”或“≠”填空）．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图（3），将（2）中的“正方形”改成“矩形”，使角尺的一边经过点（即点、重合），其余条件不变，若，，求的值．

9 . 综合与实践﹣﹣旋转中的数学
问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，它们各自对角线的交点重合于点O，连接AA′，CC′．请你帮他们解决下列问题：
观察发现：（1）如图1，若A′B′∥AB，则AA′与CC′的数量关系是      ；
操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），如图2，在矩形A′B′C′D′旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时，若AB=6，BC=8，A′B′=3，求AA′的长．

10 . （1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；
（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；

附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．