1 . 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．

（1）问题发现：
如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：
①AF与BE的数量关系是　 　；
②∠ABE＝　 度．
（2）拓展探究：
如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．
（3）解决问题
如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．

2 . 已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点，令．

特例解析：如图1，若四边形是矩形，且，求证：；
类比探究：如图2，若四边形是平行四边形，当与满足什么关系时，仍然成立？并证明你的结论；
拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，若，，，，求的长．

3 . 在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P旋转得到线段DP，连结AP，CD，BD．
（1）观察猜想：如图1，当时，线段CP绕点P顺时针旋转得到线段DP，则的值是______，直线AP与BD相交所成的较小角的度数是______；
（2）类比探究：如图2，当时，线段CP绕点P顺时针旋转得到线段请直接写出AP与BD相交所成的较小角的度数，并说明与相似，求出的值；
（3）拓展延伸：当时，且点P到点C的距离为，线段CP绕点P逆时针旋转得到线段DP，若点A，C，P在一条直线上时，求的值．
   

4 . 如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，

（1）问题发现的值为_______；
（2）探究与证明：将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为_______．

5 . 定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
【概念感知】
（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

【问题探究】
（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．
【拓展提升】
（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．
①当时，则_________；
②如图4，当点B落在直线上时，求的值．

6 . （1）如图①，在四边形中，，点在边上，，求证：
（2）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证：
（3）拓展：如图③，在中，点是边的中点，点分别在边上，若，求的长

7 . 如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．

8 . （1）初步探究：如图（1），点、分别在正方形边、上，于点，小芳看到该图后，发现，这是因为和都是的余角，就会由______判定得出______≌______．
（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形是矩形，如图，且于点，她发现，请你替她完成证明．
（3）拓展延伸：如图（3），若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．

9 . 综合与实践
如图①，在中中，，，，过点作于，将绕点逆时针方向旋转，得到，连接，，记旋转角为．
（1）问题发现
如图②，当时，__________；如图③，当时，__________．
（2）拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图④的情形给出证明．
（3）问题解决
如图⑤，当绕点逆时针旋转至点落在边上时，求线段的长．
   

10 . 问题背景
在中，，，，点、分别是边、上的动点，设，两点之间的距离为，、两点之间的距离为．
初步思考
（1）如图1，过点作的垂线，垂足为，连结、．当时，________；
深入探究
（2）如图2，若于，以，为邻边作平行四边形，当时，是否存在，使得平行四边形的顶点恰好落在的边上？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

拓展延伸
（3）如图3，连接、交于点，若，且满足，判断是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．