1 . 如图，在中，与交于点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补．

（1）观察猜想
若四边形是正方形，则线段与有何数量关系？请直接写出结论．
（2）延伸探究
若四边形是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展证明
若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论．

2 . 某数学活动小组在研究三角形的拓展图形及其性质时，经历了如下过程．
操作发现：
（1）①如图1，B为线段上一点，分别以，为边作正方形，正方形，点P为上一点，且，连接，，那么与有什么关系？直接写出答案．
②如图2，B为线段上一点，分别以，为斜边作等腰直角三角形与等腰直角三角形，点P为的中点，连接，，那么与有什么数量关系？请给予证明．

数学思考：
（2）如图3，B为线段上一点，分别以，为斜边作直角三角形，直角三角形，且，点P为的中点，连接，，那么与有什么数量关系？
请给予证明

拓展探究：
（3）如图4，B为线段外一点，连接，分别，为斜边作直角三角形，直角三角形，且，点P为的中点，连接，，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

3 . 定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
【概念感知】
（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

【问题探究】
（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．
【拓展提升】
（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．
①当时，则_________；
②如图4，当点B落在直线上时，求的值．

4 . 如图所示，在△ABC中，，D、E分别是边AB、BC上的动点，且，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设．

（1）观察猜想
①在求的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令，解题思路如下：

如图1，先由，得到，再由中位线的性质得到， ，进而得出△PMN为等边三角形，∴．

②如图2，当，仿照小明的思路求的值；
（2）探究证明
如图3，试猜想的值是否与的度数有关，若有关，请用含的式子表示出，若无关，请说明理由；
（3）拓展应用
如图4，，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当时，请直接写出MN的长．

5 . 如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，． 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD．

填空：①=            ；②∠ACD的度数为            ．
（2）拓展探究
如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，． 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD． 请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图③，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD． 请直接写出所有CD的长．

6 . 矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．

（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：
①________；②与的等量关系为_________．
（2）拓展探究
如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．

7 . 【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

8 . 如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．

9 . 综合与实践
如图①，在中中，，，，过点作于，将绕点逆时针方向旋转，得到，连接，，记旋转角为．
（1）问题发现
如图②，当时，__________；如图③，当时，__________．
（2）拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图④的情形给出证明．
（3）问题解决
如图⑤，当绕点逆时针旋转至点落在边上时，求线段的长．
   

10 . 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．

探究发现：
（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，求的长．