1 . 如图1、2是两个相似比为1：等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置

   
(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与、交于点，，如图4．求证：；
(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点、，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立；
(3)如图6，在正方形中，、分别是边、上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，、分别与对角线交于、，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，并给出证明；若不能

2 . 【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P₉₁第13题：如图1，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．

①小华很快找出，他的思路为：设正方形的边长，则，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；
②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于与中的比例线段来证明与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；
【拓展创新】（2）如图2，在矩形中，E为的中点，交AB于F，连结．
①求证：；
②设，是否存在a值，使得与相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，是的直径，过点A作的切线，并在其上取一点C，连接交O于点D，连接，并延长交于点E．

(1)证明：；
(2)若，，求和的长．

4 . 如图，在中，，以BC为直径作，交AC于点F，作交AB延长线于点D，E为CD上一点，且．

(1)证明：BE为的切线；
(2)若，，求AC与DE的长．

5 . 梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．

下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，
则有，，
∴．

请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．

(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．

(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．

6 . 如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）

(1)如图①，格点P在线段AC上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
(2)如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，
(3)求出（2）中⊙M的半径为．（要求写出解答过程）

7 . 如图，△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．

Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分．
Ⅱa、小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．
设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）
Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．
你认为小明的作法正确吗？说明理由．

8 . 如图，已知抛物线y=ax²﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

9 . 如图，在中，，CD是斜边AB上的高.
     （1）证明：∽
     （2）写出除（1）外的另两对相似三角形.
     （3）AC是哪两条线段的比例中项？请简要证明（说明）.

10 . 综合与实践
背景阅读   早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

问题解决
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．