1 . 已知定义在上的函数为偶函数，当时，.
（1）写出的表达式；
（2）用定义证明：在区间上是增函数.

2 . 设集合 ，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件：
①；
②，，两两交集为空集；
③，则称集合具有性质.
（Ⅰ） 已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个.

3 . 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.

4 . 已知函数（且）的图象过点，.若函数在定义域内存在实数t，使得成立，则称函数具有性质M.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数是否具有性质M？并说明理由；
（3）证明：函数具有性质M.

5 . 设为给定的不小于的正整数，考查个不同的正整数，， ，构成的集合，若集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”．
（1）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论）
（2）设集合是“差异集合”，记 ，求证：数列的前项和；
（3）设集合是“差异集合”，求 的最大值．

6 . f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1﹣α）x₂）≤αf（x₁）+（1﹣α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数.
（1）试判断函数f₁（x）＝x²，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（2）若f（x）是定义域为的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数.

7 . 已知集合，集合是集合S的一个含有8个元素的子集.
（1）当时，设，
①写出方程的解（）；
②若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；
（2）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.

8 . 在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C₁，函数的图象为曲线C₂．
（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；
（Ⅱ）当曲线C₁在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线C₁和C₂没有交点．

9 . 对于集合，定义函数
对于两个集合，，定义运算．
（1）若，，写出与的值，并求出；
（2）证明：；
（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．

10 . 设数组，，，数称为数组的元素．对于数组，规定：
①数组中所有元素的和为；
②变换，将数组变换成数组，其中表示不超过的最大整数；
③若数组，则当且仅当时，．
如果对数组中任意个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质．
（Ⅰ）已知数组，，计算，，并写出数组是否具有性质；
（Ⅱ）已知数组具有性质，证明：也具有性质；
（Ⅲ）证明：数组具有性质的充要条件是．