1 . 已知函数．
（Ⅰ）求定义域；
（Ⅱ）证明在上是减函数．

2 . 函数的定义域关于原点对称，但不包括数，对定义域中的任意实数，在定义域中存在使，且满足以下3个条件.
（1）是定义域中的数，，则;
（2）是一个正的常数）;
（3）当时，.
证明：（I）是奇函数；
（II）是周期函数，并求出其周期；
（III）在内为减函数.

3 . 函数的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数，在定义域中存在使，，且满足以下3个条件：
（1）是定义域中的数，，则；
（2），（是一个正常数）；
（3）当时，.
证明：（1）是奇函数；
（2）是周期函数，并求出其周期；
（3）在内为减函数．

4 . 已知是定义在上的奇函数，且，若时，
（1）用定义证明：在上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知函数．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．

6 . 已知函数．
（Ⅰ）求f（x）定义域；
（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．

7 . 对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n=．若集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②∀x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E₂={1，2}，P₂=．∀x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性质Ω．
（1）写出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断P₃是否具有性质Ω．
（2）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（3）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

8 . 已知函数．
（Ⅰ）证明：是奇函数；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：在上是增函数．

9 . 已知函数．
（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

10 . 已知函数．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；
（Ⅲ）若，求实数的取值范围．