名校
解题方法
1 . 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果.设函数
在
上的导函数为
在
上的导函数记为
,若在
上
恒成立,则称函数
在
上为“凸函数”,已知
在
上为“凸函数”,则实数
的取值范围是( )
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2023-11-01更新
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945次组卷
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13卷引用:江苏省镇江市句容高级中学2023-2024学年高二上学期10月强基班学情调查数学试题
江苏省镇江市句容高级中学2023-2024学年高二上学期10月强基班学情调查数学试题(已下线)第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化(二)(已下线)专题04 函数的极值与最大(小)值 (十二大考点)-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练(人教A版2019)(已下线)第10讲 第五章 一元函数的导数及其应用 章节验收测评卷(综合卷)-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(人教A版2019选择性必修第二册)(已下线)第5.3.2讲 利用导数求解函数的综合问题(第3课时)-2023-2024学年高二数学同步精讲精练宝典(人教A版2019选修第二、三册)(已下线)专题4 导数在不等式中的应用(A)江苏省苏州青云实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(已下线)模块四 专题1 高考新题型专练(新定义专练)(人教A)(高二)宁夏银川市贺兰县第一中学2023-2024学年高二下学期第一阶段考试数学试卷(已下线)模块一 专题4 《导数在不等式中的应用》A基础卷(苏教版)(已下线)模块三 专题3 高考新题型专练 专题2 新定义专练(苏教版)(已下线)模块一 专题4 导数在不等式中的应用A基础卷(高二人教B版)(已下线)模块三 专题2 新定义专练【高二下人教B版】
21-22高二·江苏·课后作业
2 . 椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成.运用椭圆与圆之间的这种关系,你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗?
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2022-02-28更新
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103次组卷
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4卷引用:3.1.2 椭圆的几何性质
名校
3 . 对于定义在D上的函数
,其导函数为
.若存在
,使得
,且
是函数
的极值点,则称函数
为“极致k函数”.
(1)设函数
,其中
,
.
①若
是单调函数,求实数a的取值范围;
②证明:函数
不是“极致0函数”.
(2)对任意
,证明:函数
是“极致0函数”.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d0da9fd5dfe735b958eb002702baa2c6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48196cf98394fcbce4181c33754141dc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
(1)设函数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1e69392d21261afd8e5e5f096634669.png)
①若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
②证明:函数
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(2)对任意
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2021-11-04更新
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973次组卷
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5卷引用:北师大版(2019) 选修第二册 突围者 第二章 第六节 课时2 函数的极值
北师大版(2019) 选修第二册 突围者 第二章 第六节 课时2 函数的极值上海市建平中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题(已下线)重难点04导数的应用六种解法(2)辽宁省部分学校2024届高三上学期期末数学试题(已下线)上海市高二下学期期末真题必刷04(压轴题)--高二期末考点大串讲(沪教版2020选修)
12-13高二下·广东汕头·期中
4 . 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:
),其中容器的中间为圆柱形,左、右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为
,且
,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元,半球形部分每平方米的建造费用为
(
)万元,该容器的总建造费用为
万元.
关于
的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的总建造费用最少时的
的值.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
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(2)求该容器的总建造费用最少时的
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
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2021-09-23更新
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791次组卷
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15卷引用:2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷)(已下线)2012-2013学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中理科数学试卷(已下线)2014届湖南省四校高三上学期第三次联考理科数学试卷(已下线)2013-2014学年湘教版高二数学选修2-2基础达标4.4练习卷江苏省清江中学2017-2018学年高二12月月考数学试题黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修1-1同步练习:第三章 导数及其应用单元测评湖北省武汉市钢城第四中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第二章 不等式高考题选重庆市万州高级中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题苏教版(2019) 选修第一册 突围者 第5章 全章综合检测人教B版(2019) 选修第三册 突围者 第六章 高考挑战2023版 苏教版(2019) 选修第一册 突围者 第5章 全章综合检测山东省菏泽市定陶区明德学校(山大附中实验学校)2022-2023学年高二下学期创新部第一次月考数学试题(已下线)考点18 导数的应用--函数最值问题 2024届高考数学考点总动员(已下线)5.3.2课时3导数在解决实际问题中的应用 第三课 知识扩展延伸
解题方法
5 . 易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻,易拉罐(如图所示)作为饮品的容器,每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题,即在易拉罐的体积一定的情况下,如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省?他研究发现易拉罐的上盖、下底和侧壁的厚度是不同的,进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程,请你补全缺失的部分.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/4/29/2710429297205248/2785878279561216/STEM/ada09bd6b2e04728a7fc3cd25880bd12.png?resizew=88)
以下是小明的研究过程,请你补全缺失的部分.
(1)模型假设:
①易拉罐近似看成圆柱体;
②上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀;
③上盖、下底、侧壁所用金属相同;
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(2)建立模型
记圆柱体积为
,高为
,底面半径为
,上盖、下底和侧壁的厚度分别为
,
金属用料总量为C.
由几何知识得到如下数量关系:
①
②
因为
都是常数,不妨设
,
则用料总量的函数简化为
.
请写出表格中代入整理这一步的目的是:___________________________.
(3)求解模型:
所以,在
___________(用
表示)时,
取得最小值,即在此种情况下用料最省.
(4)检验模型:
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8d4d1a2bc1654079f1deea7574bd975a.png)
,代入(3)的模型结果,经计算得
经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径
差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优.
(5)模型评价与改进:
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为:_________________________________________________________________________________________________.
相应改进措施为:_________________________________________________________________________________________________________________________________.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/4/29/2710429297205248/2785878279561216/STEM/ada09bd6b2e04728a7fc3cd25880bd12.png?resizew=88)
以下是小明的研究过程,请你补全缺失的部分.
(1)模型假设:
①易拉罐近似看成圆柱体;
②上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀;
③上盖、下底、侧壁所用金属相同;
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(2)建立模型
记圆柱体积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/367c96a0ff95b92877eda2a7c98871e1.png)
金属用料总量为C.
由几何知识得到如下数量关系:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b7f66ce12a6d736791becead9c4733cb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fc7146e6b95b44d9023a56aca131a27e.png)
由①得![]() ![]() |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c1c7faff23c621e48d596869c8d1e80.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd462edb0efbba9a4a78d2e403917615.png)
则用料总量的函数简化为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35734fa0737116f105919f59bf701d24.png)
请写出表格中代入整理这一步的目的是:___________________________.
(3)求解模型:
所以,在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/296b4bc9e0bfea027ada41ca004c9d12.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/632244ea6931507f8656e1cc3437d392.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
(4)检验模型:
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8d4d1a2bc1654079f1deea7574bd975a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d78e2223b3f9161cad8b817ec3ae4645.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/918d14ca12dbeef14cacb27a6de544e6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bea6c07eb94fd55f2ec6fedc4556e91a.png)
(5)模型评价与改进:
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为:_________________________________________________________________________________________________.
相应改进措施为:_________________________________________________________________________________________________________________________________.
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6 . 已知
,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f3f8eef2faf3cda87eea633066f8a02.png)
______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c111ae39998037ad9c2eef5a892b3e6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f3f8eef2faf3cda87eea633066f8a02.png)
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6卷引用:2014-2015学年江苏省响水中学高二下学期期中考试数学试卷