1 . 某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为研究车辆发车间隔时间
（分钟）与乘客等候人数
（人）之间的关系，经过调查得到如下数据：
调查小组先从这
组数据中选取
组数据求线性回归方程，再用剩下的
组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数
，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过
，则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”．
（1）从这组数据中随机选取组数据后，求剩下的组数据的间隔时间之差大于的概率；
（2）若选取的是后面组数据，求关于的线性回归方程
，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；
（3）在（2）的条件下，为了使等候的乘客不超过
人，则间隔时间最多可以设置为多少分钟？（精确到整数）
参考公式：
，
．
（分钟）与乘客等候人数（人）之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间 |
|
|
|
|
|
|
等候人数 |
|
|
|
|
|
|
组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过，则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”．（1）从这
组数据中随机选取组数据后，求剩下的组数据的间隔时间之差大于的概率；（2）若选取的是后面
组数据，求关于的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）在（2）的条件下，为了使等候的乘客不超过
人，则间隔时间最多可以设置为多少分钟？（精确到整数）参考公式：
，．
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2019-02-10更新
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1223次组卷
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4卷引用：【市级联考】福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学（文）试题
【市级联考】福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学（文）试题【省级联考】河南省2019届高三年级期末考试数学文科试题【省级联考】广东省2019届高三2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟（一）试题（已下线）2019年4月7日 《每日一题》文数选修1-2（期中复习）-每周一测
名校
2 . 某公司为了解年研发资金（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金
和年产值
（
，
）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程：
①
；②
．
(1)求
的值；
(2)已知①中的残差平方和
，②中的残差平方和
，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值．
参考数据：
，
，
，
．
参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数
．
（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程：①
；②．(1)求
的值；(2)已知①中的残差平方和
，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值．参考数据：
，，，．参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数
．
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7日内更新
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165次组卷
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2卷引用：福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习数学试卷
解题方法
3 . 千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛传知；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则.使得“千里眼”“顺风耳”变为现实……此时此刻，5G的到来即将给人们的生活带来颠覆性的变革，“5G领先”一方面是源于我国顶层设计的宏观布局，另一方面则来自政府高度重视、企业积极抢滩、企业层面的科技创新能力和先发优势.某科技创新公司基于领先技术的支持，丰富的移动互联网应用等明显优势，随着技术的不断完善，该公司的5G经济收入在短期内逐月攀升，业内预测，该创新公司在第1个月至第7个月的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表：
根据以上数据绘制散点图：
（1）为了更充分运用大数据、人工智能、5G等技术，公司需要派出员工实地考察检测产品性能和使用状况，公司领导要从报名的五名科技人员A、B、C、D、E中随机抽取3个人前往，则A、B同时被抽到的概率为多少？
（2）根据散点图判断，
与
（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；
（3）请你预测该公司8月份的5G经济收入.
参考数据：
其中设
，
参考公式：
对于一组具有线性相关系的数据
（
，2，3，…，n），其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
| 时间（月份） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 收入（百万元） | 6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |
根据以上数据绘制散点图：
（1）为了更充分运用大数据、人工智能、5G等技术，公司需要派出员工实地考察检测产品性能和使用状况，公司领导要从报名的五名科技人员A、B、C、D、E中随机抽取3个人前往，则A、B同时被抽到的概率为多少？
（2）根据散点图判断，
与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；（3）请你预测该公司8月份的5G经济收入.
参考数据：
 |  |  |  |  |  |
| 462 | 10.78 | 2711 | 50.12 | 2.82 | 3.47 |
其中设
，参考公式：
对于一组具有线性相关系的数据
（，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
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解题方法
4 . 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到
，
，的方差为350，
的相关系数
（
）.
(1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；
(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到，，的方差为350，的相关系数（）. (1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
编号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
x | 85 | 90 | 100 | 110 | 120 |
y | 113 | 114 | 117 | 119 | 119 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
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名校
解题方法
5 . 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率
进行了统计，结果如表：
请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系，如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率
如果不能，请说明理由．
根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元
辆和800元辆的A，B两款车型，报废年限各不相同考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？
参考数据：
，
，
参考公式：相关系数
回归直线方程
中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
进行了统计，结果如表：| 月份 |  |  |  |  |  |  |
| 月份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系，如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率如果不能，请说明理由．根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型，报废年限各不相同考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：| 报废年限 车型 | 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 总计 |
| A | 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
| B | 15 | 40 | 35 | 10 | 100 |
不考虑除采购成本以外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考数据：
，，参考公式：相关系数
回归直线方程
中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
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2020-03-18更新
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703次组卷
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9卷引用：2020届福建省龙岩市高三毕业班3月教学质量检查文科数学试题
2020届福建省龙岩市高三毕业班3月教学质量检查文科数学试题【市级联考】四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学（文）试题【市级联考】四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题河南省南阳市第一中学2018-2019学年高二下学期第四次月考数学（文）试题2020届四川省绵阳南山中学高三二诊热身考试数学（文）试题2019届广西梧州市高考一模试卷（文科）数学试题河北省武邑中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题（已下线）专题01 过“三关”破解概率与统计问题（第六篇）-2020高考数学压轴题命题区间探究与突破陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二下学期第一次月考文科数学试题
名校
解题方法
6 . 为了研究黏虫孵化的平均温度（单位：
）与孵化天数之间的关系，重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：
他们分别用两种模型①
，②
分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：
，
，
，
，
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程．（系数精确到0.1）
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，．
（单位：）与孵化天数之间的关系，重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均温度 | 15.3 | 16.8 | 17.4 | 18 | 19.5 | 21 |
孵化天数 | 16.7 | 14.8 | 13.9 | 13.5 | 8.4 | 6.2 |
，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：
，，，，（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立
关于的线性回归方程．（系数精确到0.1）参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
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2021-07-14更新
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415次组卷
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7卷引用：【全国百强校】福建省厦门市第一中学2017-2018学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题
【全国百强校】福建省厦门市第一中学2017-2018学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题（已下线）第07章：统计案例（A卷基础篇）-2020-2021学年高二数学下学期同步单元AB卷（苏教版）（已下线）第08章：《期末综合试卷一》 （B卷提升篇）- 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（苏教版）重庆市第八中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题安徽省蚌埠市2022届高三下学期第四次教学质量检查文科数学试题河南省郑州市新郑市2021-2022学年高二下学期期末数学试题广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年高三上学期期末数学试题
名校
7 . 如图是某小区2017年1月到2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）
根据散点图选择
和
两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为
和
，并得到以下一些统计量的值：
（1）请利用相关指数
判断哪个模型的拟合效果更好；
（2）某位购房者拟于2018年6月份购买该小区
平方米的二手房（欲购房者为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满 5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：
（ⅰ）估算该购房者应支付的金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）
（ⅱ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）
附注：根据相关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：
参考数据：
，
.
参考公式：相关数据
根据散点图选择
和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值： | | |
残差平方和 | 0.000591 | 0.000164 |
总偏差平方和 | 0.006050 | |
判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买该小区
平方米的二手房（欲购房者为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满 5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（ⅰ）估算该购房者应支付的金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）
（ⅱ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）
附注：根据相关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：
| 契税 （买方缴纳） | 首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3% |
| 增值税 （卖方缴纳） | 房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征 |
| 个人所得税 （卖方缴纳） | 首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征 |
，.参考公式：相关数据
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2018-07-15更新
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1143次组卷
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5卷引用：福建省龙岩市龙岩第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试题
名校
解题方法
8 . 某单位为了了解用电量y度与气温
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
（I）求线性回归方程；（参考数据：
，
）
（II）根据（I）的回归方程估计当气温为
时的用电量．
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温 | 14 | 12 | 8 | 6 |
用电量 | 22 | 26 | 34 | 38 |
，）（II）根据（I）的回归方程估计当气温为
时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
．
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2018-06-07更新
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997次组卷
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10卷引用：2015-2016学年福建省漳州市龙海二中高二上学期期末理科数学试卷
2015-2016学年福建省漳州市龙海二中高二上学期期末理科数学试卷2015-2016学年福建省龙海市二中高二上学期期末考试理科数学试卷2015-2016学年广东省普宁英才华侨中学高二下第二次月考文科数学卷2015-2016学年广东省普宁一中高二下学期第二次月考文科数学试卷【全国百强校】广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第二次段考数学（理）试题江西省宜春市第九中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题江西省赣州市于都二中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题山东省日照市五莲县、莒县2019-2020学年高二下学期期中模块检测数学试题湖北省黄冈市麻城市第二中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题陕西省西安市周至县第六中学2022-2023学年高二下学期4月月考文科数学试题
名校
解题方法
9 . 从2015-2022年某地区区域发展总指数与年份的关系如下图所示．
若年份（2015年记为
年记为
，以此类推）与发展总指数存在线性关系．
(1)求年份与发展总指数的经验回归方程；
(2)根据（1）中的经验回归方程计算的各年发展总指数值（预测值）与实际发展总指数值（观测值）差的绝对值，并记为
，称为和谐度．若
，则称该年为和谐发展年．经计算得2019、2020、2021这三年的和谐度分别为0.575、1.675、1.475．
①请计算2022年的和谐度；
②若从2019~2022这四年中任选两年，记事件
：两年中至少有一年为和谐发展年，求事件发生的概率
．
参考公式：回归方程，其中
，
，
，
，
.
若年份
（2015年记为年记为，以此类推）与发展总指数存在线性关系．(1)求年份
与发展总指数的经验回归方程；(2)根据（1）中的经验回归方程计算的各年发展总指数值（预测值）与实际发展总指数值（观测值）差的绝对值，并记为
，称为和谐度．若，则称该年为和谐发展年．经计算得2019、2020、2021这三年的和谐度分别为0.575、1.675、1.475．①请计算2022年的和谐度；
②若从2019~2022这四年中任选两年，记事件
：两年中至少有一年为和谐发展年，求事件发生的概率．参考公式：回归方程
，其中，，，，.
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名校
解题方法
10 . 一种室内植物的株高（单位：
）与与一定范围内的温度（单位：
）有，现收集了该种植物的
组观测数据，得到如图所示的散点图：
现根据散点图利用或
建立关于的回归方程，令
，
，得到如下数据：
且
与
的相关系数分别为
、
，其中
．
（1）用相关系数说明哪种模型建立关于的回归方程更合适；
（2）（i）根据（1）的结果及表中数据，求关于的回归方程；
（ii）已知这种植物的利润
（单位：千元）与、的关系为
，当何值时，利润的预报值最大.
附：对于样本
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，
相关系数
，
．
（单位：）与与一定范围内的温度（单位：）有，现收集了该种植物的组观测数据，得到如图所示的散点图：现根据散点图利用
或建立关于的回归方程，令，，得到如下数据：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
与的相关系数分别为、，其中．（1）用相关系数说明哪种模型建立
关于的回归方程更合适；（2）（i）根据（1）的结果及表中数据，求
关于的回归方程；（ii）已知这种植物的利润
（单位：千元）与、的关系为，当何值时，利润的预报值最大.附：对于样本
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数
，．
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