1 . 参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程,是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式.很多曲线(如心脏线、螺线、玫瑰线)都可以用参数方程呈现.在平面直角坐标系中,直线的参数方程式(为参数),其中,角为直线的倾斜角.曲线的参数方程是(为参数).其中,直线与曲线相交于、点.
(1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程;
(2)设点,设点对应的参数为,试证明:;
(3)试问是否存在角,使得对于任意的点,表达式均为定值,若存在,请求出及值(结果用,表示);若不存在,请说明理由.
(1)根据以上的参数方程求出直线的一般式方程和曲线的标准方程;
(2)设点,设点对应的参数为,试证明:;
(3)试问是否存在角,使得对于任意的点,表达式均为定值,若存在,请求出及值(结果用,表示);若不存在,请说明理由.
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2 . 坐标平面上的点也可表示为,其中为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点绕原点逆时针旋转后得到点,这个过程称之为旋转变换.
(1)证明旋转变换公式:并利用该公式,求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标;
(2)旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系.利用旋转变换,可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.
(i)求将曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程,并求该曲线的离心率;
(ii)已知曲线,点,直线AB交曲线于,两点,作的外角平分线交直线AB于点,求|FM|的最小值.
(1)证明旋转变换公式:并利用该公式,求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标;
(2)旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系.利用旋转变换,可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.
(i)求将曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程,并求该曲线的离心率;
(ii)已知曲线,点,直线AB交曲线于,两点,作的外角平分线交直线AB于点,求|FM|的最小值.
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3 . 在直角坐标系中,直线的参数方程为,,(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
求证:直线与圆必有两个公共点;
已知点的直角坐标为,直线与圆交于,两点,若,求的值.
求证:直线与圆必有两个公共点;
已知点的直角坐标为,直线与圆交于,两点,若,求的值.
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4 . 抛物线:的焦点为,抛物线过点.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程与其准线的方程;
(Ⅱ)过点作直线与抛物线交于,两点,过,分别作抛物线的切线,证明两条切线的交点在抛物线的准线上.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程与其准线的方程;
(Ⅱ)过点作直线与抛物线交于,两点,过,分别作抛物线的切线,证明两条切线的交点在抛物线的准线上.
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5 . 在平面直角坐标系中,对于任意一点,总存在一个点满足关系式:(,),则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中,求平面直角坐标系中的伸缩变换,使得椭圆变换为一个单位圆;
(2)在同一直角坐标系中,△(为坐标原点)经平面直角坐标系中的伸缩变换(,)得到△,记△和△的面积分别为S与,求证:;
(1)在同一直角坐标系中,求平面直角坐标系中的伸缩变换,使得椭圆变换为一个单位圆;
(2)在同一直角坐标系中,△(为坐标原点)经平面直角坐标系中的伸缩变换(,)得到△,记△和△的面积分别为S与,求证:;
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6 . 已知椭圆:经过点,离心率为,点为椭圆的右顶点,直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求面积的最大值;
(3)若,求证:为定值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求面积的最大值;
(3)若,求证:为定值.
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