1 . 定义为正整数的各位数字中不同数字的个数，例如.在等差数列中，，则___________，数列的前100项和为__________.

2 . 设正整数数列满足.
(1)若，请写出所有可能的的取值；
(2)求证：中一定有一项的值为1或3；
(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.

3 . 对任意正整数，定义函数如下：
①；
②；
③.
（1）求的解析式；
（2）设是数列的前项和，证明：.

4 . 在某次会操活动中，领操员让编号为的名学生排成一个圆形阵，做循环报数，领操员一一记录报数者的编号，并要求报l、2的学生出列，报3的学生留在队列中，并将编号改为此次循环报数中三名学生的编号之和．一直循环报数下去．当操场上剩余的学生人数不超过两名时，报数活动结束．领操员记录最后留在操场的学生编号（例如，编号为的九名学生排成一个圆形阵，报数结束后，只有原始编号为9的学生留在操场，此时，他的编号为45，领操员记录下来的数据分别为l，2，3，4，5，6，7，8，9，6，15，24，45）．已知共有2011名学生参加会操．
（1）最后留在场内的学生最初的编号是几号?
（2）求领操员记录下的编号之和．

5 . 已知、、为实数，对大于1的整数都有．
（1）若、、成等差数列，求证：、、也成等差数列；
（2）若、、成等差数列，找一个反例，使、、不成等差数列；
（3）对，若、、成等差数列，且公差不为0，问：、、是否成等差数列？证明你的结论．

6 . 试求出所有的正整数组，使得.

7 . 已知无穷正数数列满足：
（1）存在，使得；
（2）对任意正整数、，均有，求证：.

8 . 若、、均为正整数，且，为一素数，、、的进制表示分别为，其中，.证明：
（1）若，且对整数 均有，则，其中，表示不超过实数的最大整数.
（2） ，其中，表示集合A中元素的个数.

9 . 已知数列满足，对每个正整数，有或.如这个数列可以为1，2，4，6，10….
（1）若某一项为奇数，且不为3的倍数，证明：；
（2）证明：；
（3）若在的前2015项中，恰有t个项为奇数，求t的最大值.

10 . 设，，.
证明：（1）存在常数，使得对任意正整数，有.
（2）对任意正整数，有.