1 . 在
方格表中的每个方格内填入一个“
”号或“
”号.若一个有序整数组
具有以下性质：
（i）
；
（ii）
；
（iii）在上述
方格表中的第
列的每个方格中“”（或“”）号后添上
，使得第
行的数之和为
.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
方格表中的每个方格内填入一个“”号或“”号.若一个有序整数组具有以下性质：（i）
；（ii）
；（iii）在上述
方格表中的第列的每个方格中“”（或“”）号后添上，使得第行的数之和为.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
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2 . 为了迎接2000年的到来，某地组织了一次乒乓球迎春幸运赛.首先，通过身份号抽选出2000名选手，编号为1，2，…，2000，他们当中任两人都可以组成一对双打选手，每对选手的编号之和称为他们的“和号”.规定：“和号”相同的两对选手方有资格进行幸运双打赛.比赛开始前，组委会首先从2000个编号中随机抽出65名幸运选手，然后找出“和号”相同的两对选手进行幸运双打赛（凡同一“和号”的选手分在同一区进行单循环）.求证：无论怎样抽选，总有选手进行幸运赛.
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3 . 设集合
，证明：对任意
，都存在
和正整数
使得
，其中，
表示不超过实数
的最大整数.
，证明：对任意，都存在和正整数使得，其中，表示不超过实数的最大整数.
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4 . 已知各项均为整数的无穷数列
满足：
、
、
，
，
，
，
，
，
证明：对任何大于1的正整数，存在无穷多个正整数
，使得
.
满足：、、，，，，，，证明：对任何大于1的正整数
，存在无穷多个正整数，使得.
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5 . 对于集合
，若存在两个数列
满足(i) 
；(ii) 
，则称M为一个“友谊集”，称(A，B)为
的一种“友谊排列”，如A=(3，10，7，9，6)和B=(2，8，4，5，1)便是集合
的一种友谊排列，记为
(1)证明：若为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；
(2)确定集合
及的全体友谊排列．
，若存在两个数列满足(i) ；(ii) ，则称M为一个“友谊集”，称(A，B)为的一种“友谊排列”，如A=(3，10，7，9，6)和B=(2，8，4，5，1)便是集合的一种友谊排列，记为(1)证明：若
为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；(2)确定集合
及的全体友谊排列．
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6 . 证明：存在一个1997的整倍数，它不超过11位，且各位数字不含2，3，4，5，6，7．
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2013高三·江西·竞赛
7 . 问：是否存在这样的正整数数列
，满足
，且对每个
，均有
或
；而其各项
的值恰构成
的一个排列？证明你的结论.
，满足，且对每个，均有或；而其各项的值恰构成的一个排列？证明你的结论.
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8 . 有2012位学者参加某数学会议，他们中有些人相互认识，且满足：
（1）每个人至少认识其中的671个人；
（2）对于其中任意两个人
、
，若、相互不认识，则总可以通过其他人间接认识，即存在
，使得认识
，
认识
，
认识；
（3）不可以将2012位学者排成一排，使得相邻的两个人相互认识.
证明：可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两个人不认识.
（1）每个人至少认识其中的671个人；
（2）对于其中任意两个人
、，若、相互不认识，则总可以通过其他人间接认识，即存在，使得认识，认识，认识；（3）不可以将2012位学者排成一排，使得相邻的两个人相互认识.
证明：可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两个人不认识.
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9 . 数列
满足： 
， 
.求证：对一切，均有
.其中表示不大于实数 的最大整数，
是斐波那契数列： 
.
满足： ， .求证：对一切，均有.其中表示不大于实数 的最大整数，是斐波那契数列： .
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10 . 一平面上有32个点，其中无三点共线．证明：在这32个点中至少能找到2135个四点组，形成凸四边形的四个顶点．
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