1 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，证明：
．
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求
；(2)若正整数
互质，证明：；(3)若
且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．
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2024-03-26更新
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1080次组卷
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4卷引用：湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题
湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测（4月）数学试题
2 . 数列
满足：
是大于1的正整数，试证明：在数列
中存在相邻的两项，它们除以
余数相同.
满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同.
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3 . 设是正整数，整系数多项式
满足
．整系数多项式
，
，
满足
和
，其中
是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．
是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．
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4 . 求正整数
，使得
成立．
，使得成立．
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解题方法
5 . 已知
是整系数方程
的一个无理根，求证：存在常数
，使得对任意互质的正整数p，q，均有
，
是整系数方程的一个无理根，求证：存在常数，使得对任意互质的正整数p，q，均有，
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6 . 求所有正整数组
，使得不定方程组 
有正有理数的解.
，使得不定方程组 有正有理数的解.
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7 . 设实函数
满足
，问是否存在整数n，使
也为整数？若存在，求出所有的n；若不存在，说明理由．
满足，问是否存在整数n，使也为整数？若存在，求出所有的n；若不存在，说明理由．
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8 . 求方程
的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.
的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.
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9 . 设m是一个给定的正整数，d是它的一个正因子．已知
和
是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数i、j、k、l，使得
．证明：存在正整数t、s使得
．
和是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数i、j、k、l，使得．证明：存在正整数t、s使得．
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，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．
表示x，y的最大公因数．
