1 . 若一个两位正整数
的个位数为4，则称为“好数”，若
，且
，
为正整数，则称数对
为“友好数对”，规定：
，例如
，称数对
为“友好数对”，
，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的
的最大值为________ ．
的个位数为4，则称为“好数”，若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为
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2 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，证明：
．
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求
；(2)若正整数
互质，证明：；(3)若
且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．
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2024-04-07更新
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967次组卷
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3卷引用：湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题
3 . 数列
满足：
是大于1的正整数，试证明：在数列
中存在相邻的两项，它们除以
余数相同.
满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同.
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4 . 积性函数
指对于所有互质的整数
和
有
的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（ ）
指对于所有互质的整数和有的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（ ）A．高斯函数 表示不大于实数 的最大整数 |
B．最大公约数函数 表示正整数与 的最大公约数（ 是常数） |
C．幂次函数 表示正整数质因数分解后含 的幂次数（ 是常数） |
D．欧拉函数 表示小于正整数的正整数中满足与互质的数的数目 |
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5 . 欧拉函数
是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如
，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）A． | B．数列 单调递增 |
C． | D．数列 的前项和小于 |
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6 . 设是正整数，整系数多项式
满足
．整系数多项式
，
，
满足
和
，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．
是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．
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7 . 求正整数
，使得
成立．
，使得成立．
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8 . 60支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为0.5，设没有两队赢相同场数的概率为
，其中p，q为互质的正整数，则使得
可整除p的最大正整数n是（ ）
，其中p，q为互质的正整数，则使得可整除p的最大正整数n是（ ）| A．1768 | B．1746 | C．1714 | D．1702 |
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解题方法
9 . 已知
是整系数方程
的一个无理根，求证：存在常数
，使得对任意互质的正整数p，q，均有
，
是整系数方程的一个无理根，求证：存在常数，使得对任意互质的正整数p，q，均有，
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名校
10 . 定义：最高次项的系数为1的多项式P（x）=xn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0（n∈N*）的其余系数ai（i=0，1，…，n﹣1）均是整数，则方程P（x）=0的根叫代数整数.下列各数不是代数整数的是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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