1 . 已知非常数的整系数多项式
满足
.①证明：对所有正整数
，
至少有五个不同的质因数.
满足.①证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.
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2 . (1)若正整数n可以表示成
)的形式，则称n为“好数”．试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程
的所有非负整数解
)的形式，则称n为“好数”．试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程的所有非负整数解
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3 . 设直线与函数
的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.
的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.
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4 . .设数列
定义为
证明：
（1）当
时，
；
（2）
定义为 证明：（1）当
时， ；（2）
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5 . 已知函数
满足①
均大于0；②对于任意的
，均为整数；③
．试判断，对于每个整数
是否为整数，并对你的结论给出论证．
满足①均大于0；②对于任意的，均为整数；③．试判断，对于每个整数是否为整数，并对你的结论给出论证．
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6 . 设集合
，
是从
到的映射，且满足
.试求所有的三元数组
，使得
.
，是从到的映射，且满足.试求所有的三元数组，使得.
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2007高三·湖北·竞赛
7 . 设
.则函数
的最小值为_______________ .
.则函数的最小值为
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2006高三·山东·竞赛
8 . 以椭圆
(a>1)的短轴端点B (0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰
.若这样的三角形有且只有一个,求a的取值范围.
(a>1)的短轴端点B (0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰.若这样的三角形有且只有一个,求a的取值范围.
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9 . 设
是给定的自然数，求所有正数对
，使得
是
的因式.
是给定的自然数，求所有正数对，使得是的因式.
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