1 . 已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，.
(1)求C的方程；
(2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值.

2 . 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程．

3 . 设双曲线的渐近线为，焦点在轴上且实轴长为.若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和等于，并且曲线：（是常数）的焦点在曲线上.
（1）求满足条件的曲线和曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于点、（在轴左侧），若，求直线的倾斜角.

4 . 已知：方程表示焦点在轴上的椭圆；：双曲线的实轴长大于虚轴长.若命题“”为真命题，“”为假命题，求的取值范围．

5 . 已知直线与、轴交于、两点.
(1)若点、分别是双曲线的虚轴、实轴的一个端点，试在平面上找两点、，使得双曲线上任意一点到、这两点距离差的绝对值是定值.
(2)若以原点为圆心的圆截直线所得弦长是，求圆的方程以及这条弦的中点.