2023高一·上海·专题练习
1 . 设
是集合
的一个
元子集（即由
个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合
的包含集合的任意
元子集
，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.
(1)当
时，试写出一个三元子集；
(2)当
时，证明：
.
是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.(1)当
时，试写出一个三元子集；(2)当
时，证明：.
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2 . 给定正整数n，记S(n)为所有由2n个非负实数组成的2行n列的数表构成的集合.对于A
S(n)，用
，
分别表示的第i行，第j列各数之和(i=1，2；j=1，2，...，n).将A的每列的两个数中任选一个变为0(可以将0变为0)而另一个数不变，得到的数表称为A的一个残表.
(1)对如下数表A，写出A的所有残表A'，使得
；
(2)已知AS(2)且
(j=1，2)，求证：一定存在A的某个残表A'使得
，
均不超过
；
(3)已知AS(23)且(j=1，2，...，23)，求证：一定存在A的某个残表A'使得，均不超过6.
S(n)，用，分别表示的第i行，第j列各数之和(i=1，2；j=1，2，...，n).将A的每列的两个数中任选一个变为0(可以将0变为0)而另一个数不变，得到的数表称为A的一个残表.(1)对如下数表A，写出A的所有残表A'，使得
；| 0.1 | 0.1 | 1 |
| 0 | 0 | 0.1 |
S(2)且(j=1，2)，求证：一定存在A的某个残表A'使得，均不超过；(3)已知A
S(23)且(j=1，2，...，23)，求证：一定存在A的某个残表A'使得，均不超过6.
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名校
解题方法
3 . 给定整数
，如果非空集合
满足：
一：
，
，
二：
，
，若
，则
，那么称集合为“减集”.
(1)
是否为“减0集”？是否为“减1集”？
(2)是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明.
(3)是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明.
，如果非空集合满足：一：
，，二：
，，若，则，那么称集合为“减集”.(1)
是否为“减0集”？是否为“减1集”？(2)是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明.
(3)是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明.
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2023-09-25更新
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612次组卷
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2卷引用：中国人民大学附属中学2023-2024学年高一上学期数学统练（一）试题
4 . 当
时，定义运算
：当
时，
；当
时，
；当
或
时，
；当
时，
；当
时，
．
(1)计算
；
(2)证明，“
或
”是“
”的充要条件．
时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．(1)计算
；(2)证明，“
或”是“”的充要条件．
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5 . 已知集合
是集合
的一个含有8个元素的子集.
(1)当
时，设
，（i）写出方程
的解
；（ii）若方程
至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；
(2)证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程
至少有三组不同的解.
是集合的一个含有8个元素的子集.(1)当
时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；(2)证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程
至少有三组不同的解.
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6 . 已知集合
，设是
的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素
，若
都不能整除
，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集
与
是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有
；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.(1)判断数集
与是否是集合的“好子集”，并说明理由；(2)证明：若
是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；(3)求集合
的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
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7 . 设
，已知由自然数组成的集合
，集合
，
，…，
是的互不相同的非空子集，定义
数表：
，其中
，设
，令
是
，
，…，
中的最大值．
(1)若
，
，且
，求，，
及；
(2)若
，集合，，…，中的元素个数均相同，若
，求
的最小值；
(3)若
，
，集合，，…，
中的元素个数均为3，且
，求证：的最小值为3．
，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．(1)若
，，且，求，，及；(2)若
，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；(3)若
，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
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2023-07-10更新
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834次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型40题专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
名校
解题方法
8 . 已知是非空数集，如果对任意
，都有
，则称是封闭集.
(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合
是封闭集，则
也是封闭集；
命题
：若非空集合是封闭集，且
，则
也是封闭集；
(3)若非空集合是封闭集合，且
为全体实数集，求证：
不是封闭集.
是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题
：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；(3)若非空集合
是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
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2023-01-06更新
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3484次组卷
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11卷引用：北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题
北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）1.3 集合的基本运算（精练）-《一隅三反》（已下线）专题02 高一上期中真题精选-期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）第一章 预备知识 测试卷-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（已下线）1.1集合的概念（分层作业）-【上好课】（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）周测1 集合与常用逻辑用语 一轮周测卷（提升卷）（已下线）1.3 集合的基本运算——课后作业（提升版）单元测试A卷——第一章 集合与常用逻辑用语云南省昆明市第五中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷
9 . 已知集合
．若集合A是U的含有
个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”．将U的所有“k元零子集”的个数记为
．
(1)写出U的所有“2元零子集”；
(2)求证：当
，且
时，
；
(3)求
的值．
．若集合A是U的含有个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”．将U的所有“k元零子集”的个数记为．(1)写出U的所有“2元零子集”；
(2)求证：当
，且时，；(3)求
的值．
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，记集合
的元素个数为
.定义变换
.
，求
；
，证明：
的充要条件是
.
