名校
1 . 若数列
的子列
均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若
，数列
的前15项与
的前15项中相同的项构成数列
，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设
的公差分别为
．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．(1)若
，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；(2)若数列
既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．（ⅰ）判断
的大小关系并证明；（ⅱ）求证：数列
是等差数列．
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2022-11-02更新
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460次组卷
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3卷引用：北京市大兴区2023届高三上学期期中检测数学试题
2 . 已知
是由正整数组成的无穷数列，该数列前
项的最大值记为
，最小值记为
，令
，并将数列
称为的“生成数列”．
(1)若
，求数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为
，求证：
；
(3)若是等比数列，证明：存在正整数
，当
时，
是等比数列．
是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．(1)若
，求数列的前项和；(2)设数列
的“生成数列”为，求证：；(3)若
是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
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3 . 若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
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4 . 若有穷数列满足
且对任意的
，
至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质
（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为
的数列具有性质，求证：
；
（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当
时，不是等差数列的例子，并证明当
时，数列是等差数列
满足且对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为
的数列具有性质，求证：；（3）若项数为
的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列
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2020-12-25更新
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587次组卷
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6卷引用：上海市嘉定区2021届高三上学期一模数学试题
上海市嘉定区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）重难点01 数列（基本通项求法）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）考向17 数列新定义-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）专题05 《数列》中的解答题压轴题（2）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）北京市第五十五中学2022-2023年高二下学期3月调研数学试题（已下线）上海高二下学期期末真题精选（压轴60题35个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）
名校
5 . 在数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
（1）已知数列中，
，
，求数列的通项公式；
（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；
（3）已知数列为等差数列，且
0，
，求证：为“等比源数列”．
中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．（1）已知数列
中，，，求数列的通项公式；（2）在（1）的结论下，试判断数列
是否为“等比源数列”，并证明你的结论；（3）已知数列
为等差数列，且0，，求证：为“等比源数列”．
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2020-12-20更新
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302次组卷
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5卷引用：上海市进才中学2017-2018学年高一下学期期末数学试题
上海市进才中学2017-2018学年高一下学期期末数学试题2018届上海市金山区高考一模数学试题（已下线）专题02 过“三关”破解数列新情境问题 (第三篇）-2020高考数学压轴题命题区间探究与突破江苏省淮安市六校(金湖中学、洪泽中学等)2020-2021学年高二上学期第二次联考(期中)数学试题江苏省淮安市六校(洪泽中学、金湖中学等)2020-2021学年高二上学期第二次联考数学试题
6 . 数列
：
，
，
，…，
，…，对于给定的
（
，
），记满足不等式：
（
，
）的
构成的集合为
．
（Ⅰ）若数列
，写出集合
；
（Ⅱ）如果（，）均为相同的单元素集合，求证：数列，，…，，…为等差数列；
（Ⅲ）如果（，）为单元素集合，那么数列，，…，，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．
：，，，…，，…，对于给定的（，），记满足不等式：（，）的构成的集合为．（Ⅰ）若数列
，写出集合；（Ⅱ）如果
（，）均为相同的单元素集合，求证：数列，，…，，…为等差数列；（Ⅲ）如果
（，）为单元素集合，那么数列，，…，，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．
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名校
解题方法
7 . 对于给定的数列，，设
，即
是
，
，…，
中的最大值，则称数列
是数列，的“和谐数列”．
（1）设
，
，求
，
，
的值，并证明数列
是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足
，数列是数列，的“和谐数列”，且
（m为常数，
，2，…，k），求证：
．
，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．（1）设
，，求，，的值，并证明数列是等差数列；（2）设数列
，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；（3）设数列
满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．
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2020-05-15更新
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345次组卷
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3卷引用：2020届江苏省高三高考全真模拟(四)数学试题
8 . 记无穷数列
的前项中最大值为
，最小值为
，令
，则称
是“极差数列”.
（1）若
，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.（1）若
，求的前项和；（2）证明：
的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列
是等差数列，则数列也是等差数列.
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2020-04-06更新
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713次组卷
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3卷引用：2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）数学试题
名校
解题方法
9 . 如果无穷数列{an}满足条件：①
；② 存在实数M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列.
（1）设数列{bn}的通项为bn＝20n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝
，S3＝
，证明：数列{Sn}是Ω数列；
（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.
；② 存在实数M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列.（1）设数列{bn}的通项为bn＝20n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝
，S3＝，证明：数列{Sn}是Ω数列；（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.
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10 . 若无穷数列满足：，且对任意的
，
（
，
，
，
）都有
，则称数列为“G”数列.
（1）已知等比数列的通项为
，证明：是“G”数列；
（2）记数列的前n项和为
且有
，若对每一个
取
，中的较小者组成新的数列
，若数列为“G”数列，求实数
的取值范围？
（3）若数列是“G”数列，且数列的前n项之积
满足
，求证：数列是等比数列.
满足：，且对任意的，（，，，）都有，则称数列为“G”数列.（1）已知等比数列
的通项为，证明：是“G”数列；（2）记数列
的前n项和为且有，若对每一个取，中的较小者组成新的数列，若数列为“G”数列，求实数的取值范围？（3）若数列
是“G”数列，且数列的前n项之积满足，求证：数列是等比数列.
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