名校
解题方法
1 . 对于有限数列
，
，
，
，定义：对于任意的
，
，有：
（i ）
；
（ii ）对于
，记
.对于，若存在非零常数
，使得
，则称常数为数列的
阶
系数.
(1)设数列的通项公式为
，计算
，并判断2是否为数列的4阶系数；
(2)设数列的通项公式为
，且数列的
阶系数为3，求的值；
(3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且
，求的最大值.
，，，，定义：对于任意的，，有：（i ）
；（ii ）对于
，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.(1)设数列
的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；(2)设数列
的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；(3)设数列
为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.
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2022-03-11更新
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1147次组卷
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14卷引用：北京市昌平区2021届高三二模数学试题
北京市昌平区2021届高三二模数学试题北京市顺义区第一中学2022届高三10月月考数学试题北京市一六一中学2022届高三2月自主测试数学试题北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题北京市西城区第一六一中2021-2022学年高三下学期开学数学试题北京市海淀区首都师范大学附属中学2023届高三下学期2月阶段性质量检测数学试题北京卷专题18数列（解答题）北京市一六一中学2022届高三下学期开学考数学试题北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期期中调研数学试题北京理工大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷上海市实验学校2022届高三下学期开学考试数学试题（已下线）4.3.2.2 等比数列的前n项和的性质及应用（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）专题03 条件存在型【讲】【北京版】2（已下线）4.2 等比数列（第2课时）(六大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
名校
2 . 若有限项数列
满足
，则称数列
为
数列．记
．
(1)写出两个满足
，
的数列
；
(2)若
，
，求证：数列是递增数列的充要条件是
；
(3)对任意给定的整数
，是否存在
的数列，满足
？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，请说明理由．
满足，则称数列为数列．记．(1)写出两个满足
，的数列；(2)若
，，求证：数列是递增数列的充要条件是；(3)对任意给定的整数
，是否存在的数列，满足？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，请说明理由．
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2021-11-27更新
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164次组卷
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2卷引用：北京市顺义牛栏山第一中学2022届高三10月月考数学试题
名校
3 . 定义数列如下：，对任意的正整数
，有
.
（1）写出
，
，
，
的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有
；
（3）是否每一个非负整数都在数列中出现？证明你的结论.
如下：，对任意的正整数，有.（1）写出
，，，的值；（2）证明：对任意的正整数
，都有；（3）是否每一个非负整数都在数列
中出现？证明你的结论.
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2021-09-02更新
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561次组卷
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6卷引用：北京市清华大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
北京市清华大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题（已下线）第4章 数列 单元综合检测（重点）（单元培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）4.4 数学归纳法（课堂培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）北京市十一学校2022届高三4月月考数学试题（已下线）2020年高考北京数学高考真题变式题16-21题（已下线）4.4 数学归纳法-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）
4 . 普林斯顿大学的康威教授于
年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以
为首项的“外观数列”记作
，其中
为
、
、
、
、
、
，即第一项为，外观上看是个，因此第二项为；第二项外观上看是
个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此第四项为，，按照相同的规则可得其它，例如
为
、
、
、
、
、.给出下列四个结论：
①若的第项记作
，
的第项记作
，其中
，则
,
；
②中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字；
③的每一项中均不含数字
；
④对于
，
，的第项的首位数字与的第
项的首位数字相同.
其中所有正确结论的序号是___________ .
年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作，其中为、、、、、，即第一项为，外观上看是个，因此第二项为；第二项外观上看是个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此第四项为，，按照相同的规则可得其它，例如为、、、、、.给出下列四个结论：①若
的第项记作，的第项记作，其中，则,；②
中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字；③
的每一项中均不含数字；④对于
，，的第项的首位数字与的第项的首位数字相同.其中所有正确结论的序号是
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2021-05-06更新
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1430次组卷
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7卷引用：北京市海淀区2021届高三二模数学试题
北京市海淀区2021届高三二模数学试题山东省2021届5月仿真模拟数学试题人教A版(2019) 选修第二册 突围者 第四章 章末培优专练（已下线）专题8.3 临界知识问题 玩转压轴题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题（已下线）专题03 《数列》中的压轴题-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）北京卷专题17数列（填空题）（已下线）专题08 数列-备战2022年高考数学（文）母题题源解密（全国乙卷）
名校
5 . 已知是无穷数列.给出两个性质：①对于中任意两项
，在中都存在一项
，使得
；②对于中任意项
，在中都存在两项
，使得
.
（1）若
，判断数列是否满足性质①，说明理由；
（2）若
，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列.
.
是无穷数列.给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得.（1）若
，判断数列是否满足性质①，说明理由；（2）若
，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（3）若
是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列..
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2021-04-10更新
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665次组卷
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8卷引用：北京市顺义区2021届高三上学期期末考试数学试题
北京市顺义区2021届高三上学期期末考试数学试题北京市东城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题北京市第八十中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）专题04 《数列》中的解答题压轴题（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）北京市顺义区第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题北京市第一七一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题上海市南洋模范中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）第四章 数列（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）
6 . 已知有穷数列
.定义数列
的“伴生数列”
：
，其中
，规定
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①
（2）已知数列的“伴生数列”
，且满足
.若数列中存在相邻两项为，求证：数列中每一项均为.
.定义数列的“伴生数列”：，其中，规定（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①
②
（2）已知数列
的“伴生数列”，且满足.若数列中存在相邻两项为，求证：数列中每一项均为.
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2020-11-02更新
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255次组卷
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3卷引用：北京市北京科大附中2022届高三10月月考数学试题
7 . 有限数列
，若满足
，是项数，则称满足性质
.
（1）判断数列
和
是否具有性质，请说明理由.
（2）若，公比为
的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.
（3）若是
的一个排列
都具有性质，求所有满足条件的.
，若满足，是项数，则称满足性质.（1）判断数列
和是否具有性质，请说明理由.（2）若
，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.（3）若
是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.
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2020-07-13更新
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1068次组卷
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8卷引用：北京市育英学校2022届高三10月月考数学试题
北京市育英学校2022届高三10月月考数学试题（已下线）数学-2022年高考押题预测卷02（北京卷）2020年上海市高考数学练习（已下线）重难点01 数列（基本通项求法）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）专题09 数列-五年（2017-2021）高考数学真题分项（新高考地区专用）沪教版(2020) 选修第一册 精准辅导 第4章 4.3（1）数列的概念与性质（已下线）专题06数列必考题型分类训练-1（已下线）专题17 数列探索型、存在型问题的解法 微点1 数列探索型问题的解法
名校
8 . 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
，
）
次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取，）| A．16 | B．17 | C．24 | D．25 |
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2020-04-13更新
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1167次组卷
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15卷引用：北京市第四中学2021届高三下学期开学考试数学试题
（已下线）北京市第四中学2021届高三下学期开学考试数学试题上海市行知中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题福建省普通高中2019-2020学年高三3月文科数学试题2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷模拟测试试题（一）2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三文科数学模拟测试试题（一）2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题（一）2河北省沧州市第一中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学理科卷（一）2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题（一）12020届河北省正中实验中学高三下学期6月模拟数学（理）试题2021届高三高考必杀技之新定义题专练（已下线）8.3 函数与数学模型-2020-2021学年高一数学课时同步练（苏教版2019必修第一册）（已下线）专题20 科赫曲线上海市川沙中学2021-2022学年高一下学期5月月考数学试题福建省宁德第一中学2023-2024学年高二上学期10月学科素养数学试题
9 . 如果数列满足“对任意正整数
，都存在正整数k，使得
”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d
（1）若
，公差
，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若数列具有“性质P”，求证；
且
；
（3）若数列具有“性质P”，且存在正整数k，使得
，这样的数列共有多少个？并说明理由.
满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为d（1）若
，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若数列
具有“性质P”，求证；且；（3）若数列
具有“性质P”，且存在正整数k，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.
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2018-05-04更新
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718次组卷
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5卷引用：北京五十七中2022届高三10月月考数学试题
