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1 . 欧拉(1707-1783),他是数学史上最多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的取作就得到了欧拉恒等式,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数,圆周率,两个单位——虚数单位和自然数单位,以及被称为人类伟大发现之一的,数学家评价它是“上帝创造的公式”,请你根据欧拉公式:,解决以下问题:
(1)将复数表示成(,为虚数单位)的形式;
(2)求的最大值;
(3)若,则,这里,称为的一个次单位根,简称单位根.类比立方差公式,我们可以获得,复数,,求的值.
(1)将复数表示成(,为虚数单位)的形式;
(2)求的最大值;
(3)若,则,这里,称为的一个次单位根,简称单位根.类比立方差公式,我们可以获得,复数,,求的值.
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解题方法
2 . 任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式,即,其中i为虚数单位,,.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667~1754)创立.设两个复数用三角函数形式表示为:,,则:.如果令,则能导出复数乘方公式:.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式;
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:;;
(3)计算:的值.
(1)试将写成三角形式;
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:;;
(3)计算:的值.
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解题方法
3 . 在复数域中,对于正整数,满足的所有复数称为次单位根,若一个次单位根满足对任意小于的正整数,都有,则称该次单位根为次本原单位根,规定1次本原单位根为1,例如当时存在四个次单位根,因为,,因此只有两个次本原单位根,对于正整数,设次本原单位根为,则称多项式为次本原多项式,记为,规定,例如,请回答以下问题.
(1)直接写出次单位根,并指出哪些是次本原单位根(无需证明);
(2)求出,并计算,由此猜想(无需证明);
(3)设所有次本原单位根在复平面内对应的点为,复平面内一点所对应的复数满足,求的取值范围.
(1)直接写出次单位根,并指出哪些是次本原单位根(无需证明);
(2)求出,并计算,由此猜想(无需证明);
(3)设所有次本原单位根在复平面内对应的点为,复平面内一点所对应的复数满足,求的取值范围.
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86次组卷
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2卷引用:湖南省郴州市第一中学等校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题