1 . 如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，另一组对边AD、BC的延长线交于点Q，自P、Q分别作该圆的切线PE、QF其中，E、F是切点，联结PQ.求证：以线段PE、QF、PQ为边构成的三角形是直角三角形.
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2 . 已知数列
： 
,其中
是方程
的两个根，
求证： (1)对任意正整数
，都有
；
(2)数列中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
： ,其中是方程的两个根，求证： (1)对任意正整数
，都有；(2)数列
中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
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3 . 设
个质数
构成公差为
的等差数列，且
.求证
（1）当是质数时，
；
（2）当
时，
.
个质数构成公差为的等差数列，且.求证（1）当
是质数时，；（2）当
时，.
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4 . 如图，已知凸四边形
的对角线交于点
，
、
、
、
分别为
、
、
、
的内切圆圆心，且对应的内切圆半径
、
、
、
满足关系式
．
求证：（1）四边形存在内切圆；
（2）、、、四点共圆．
的对角线交于点，、、、分别为、、、的内切圆圆心，且对应的内切圆半径、、、满足关系式．求证：（1）四边形
存在内切圆；（2）
、、、四点共圆．
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5 . 在△ABC 内部取n 个点， 将△ABC剖分为若干个小三角形(每两个小三角形或者有一个公共顶点，或者有一条公共边，或者完全没有公共点，如图所示).现将点A 染红色， 点B 染蓝色，点C 染黑色，其余n 个点的每个点也任意染上红、蓝、黑三色之一.我们称三个顶点的颜色恰为红、蓝、黑的小三角形为“特征三角形”.证明：至少有一个小三角形是特征三角形.
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6 . 
内切圆的半径为
，直角的角平分线的长为
．求证：的两条直角边的长
、
是关于
的一元二次方程
的根．
内切圆的半径为，直角的角平分线的长为．求证：的两条直角边的长、是关于的一元二次方程的根．
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7 . 已知实数序列
的构成规律由递推关系
，
给出.求证：
.
的构成规律由递推关系，给出.求证：.
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8 . 如图，在
中，
的平分线与
交于点
、与
的延长线交于点
，
的外接圆
与
的外接圆的另一交点为
．证明：
（1）点在的外接圆上；
（2）
．
中，的平分线与交于点、与的延长线交于点，的外接圆与的外接圆的另一交点为．证明：（1）点
在的外接圆上；（2）
．
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9 . 圆内接凸四边形的面积记为
， 
， 
，
， 
.证明：
（1）
，其中
；
（2）如果四边形同时具有外接圆和内切圆，则
.
的面积记为， ， ，， .证明：（1）
，其中；（2）如果四边形
同时具有外接圆和内切圆，则.
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10 . （1）若整数
满足关系式
，证明：
．
（2）试写出不定方程的一组正整数解，并对此解验证．
满足关系式，证明：．（2）试写出不定方程
的一组正整数解，并对此解验证．
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