1 . 数列
满足：
是大于1的正整数，试证明：在数列
中存在相邻的两项，它们除以
余数相同.
满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同.
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2 . 求证：不存在无穷多项的素数数列
，使得
.
，使得.
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3 . 在半径为1的圆内任给14个点，求证：其中必有两点的距离小于0.72.
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4 . (1)设
，求证：
，并说明等号成立的条件；
(2)若实数
使得对于任意实数
，不等式
都成立，求的最大值.
，求证：，并说明等号成立的条件；(2)若实数
使得对于任意实数，不等式都成立，求的最大值.
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5 . 设
，
.
（1）求证：
；
（2）求和：
.
其中，
表示不超过实数
的最大整数.
，.（1）求证：
；（2）求和：
.其中，
表示不超过实数的最大整数.
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6 . 设
，
是两个实系数非零多项式，且存在实数
，使
.记
，
.求证：
，是两个实系数非零多项式，且存在实数，使.记，.求证：
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7 . 设
是正整数，且没有两个是相邻的，又对于
.求证：对每一个正整数
，区间
中至少含有一个完全平方数.
是正整数，且没有两个是相邻的，又对于.求证：对每一个正整数，区间中至少含有一个完全平方数.
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8 . 设
是锐角三角形，在外分别作等腰
，
，
.在这三个三角形中，
，
，
是直角.又在四边形
外作等腰
，
是直角.求证：
（1）
；
（2）
.
是锐角三角形，在外分别作等腰，，.在这三个三角形中，，，是直角.又在四边形外作等腰，是直角.求证：（1）
；（2）
.
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9 . 已知个正整数
满足
，其中任意两个
，
的最小公倍数都大于
.求证：
.（
表示
的整数部分）
个正整数满足，其中任意两个，的最小公倍数都大于.求证：.（表示的整数部分）
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