1 . 已知数列
中，
，
．正项等比数列
的公比
，且满足
，
．
(1)证明数列
为等差数列，并求数列和的通项公式；
(2)如果
，求
的前n项和为
；
(3)若存在
，使
成立，求实数
的取值范围．
中，，．正项等比数列的公比，且满足，．(1)证明数列
为等差数列，并求数列和的通项公式；(2)如果
，求的前n项和为；(3)若存在
，使成立，求实数 的取值范围．
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名校
2 . 已知函数f(x)=xlnx－ax2，a∈R.
（1）证明：当1<x<3时，
；
（2）设函数F(x)=|f(x)|(x∈[1，e])有极小值，求a的取值范围.
（1）证明：当1<x<3时，
；（2）设函数F(x)=|f(x)|(x∈[1，e])有极小值，求a的取值范围.
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2020-05-11更新
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544次组卷
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2卷引用：2019年全国高中数学联赛四川省预赛
2013高三·四川·竞赛
3 . 若实数
满足
，则称
为
的不动点.已知函数
，其中，
、
为常数．
（1）若
，求函数的单调递增区间；
（2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；
（3）证明：不存在实数组
，使得互异的两个极值点均为不动点.
满足，则称为的不动点.已知函数，其中，、为常数．（1）若
，求函数的单调递增区间；（2）若
时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；（3）证明：不存在实数组
，使得互异的两个极值点均为不动点.
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2005高三·四川·竞赛
4 . 某班有20人参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数.考试结果是：（1）没有0分；（2）没有两个同学的语文、数学成绩都相同.我们说“同学
比
的成绩好”是指“同学的语文、数学成绩都不低于”.证明：存在三个同学、、
，使得同学比的成绩好，同学比的成绩好.
比的成绩好”是指“同学的语文、数学成绩都不低于”.证明：存在三个同学、、，使得同学比的成绩好，同学比的成绩好.
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5 . 已知：实数
满足
，且
.求证
.提示：先证
，再证
.
满足，且.求证.提示：先证，再证.
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6 . 设函数
.
（1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数
的取值范围；
（2）设
，且
，若在
上至少存在一点，使得
成立，求实数的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数
，都有
成立.
.（1）若
在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设
，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围；（3）求证：对任意的正整数
，都有成立.
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7 . 设正数数列
，
，
，
满足：
（=3，4，，）且
，
.
（1）求，，
；
（2）证明，，，是自然数列，即
. （=1，2，，）
，，，满足：（=3，4，，）且，.（1）求
，，；（2）证明
，，，是自然数列，即. （=1，2，，）
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8 . 设整数
是区间
中的不同整数.证明：集合
有这样的子集存在，它的所有元素之和能被
整除.
是区间中的不同整数.证明：集合有这样的子集存在，它的所有元素之和能被整除.
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9 . 已知a、b、c为正实数.证明：
.
.
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