1 . 如图，已知二次函数：经过点，，，点P是第一象限内抛物线上一点，设点P关于直线的对称点为点Q.作轴于点D，连接，点M是位于抛物线对称轴右边的线段上一点，连接.若有，.

   

(1)求C的解析式.
(2)求M点的坐标.

2 . 若函数的定义域为全体正整数集合，则称：或，为数列，简记为，数列中的每一项即为.我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭.其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去.第一天截下，第二天截下，第天截下...不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0.我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为.
(1)已知数列，，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比.
(2)设数列满足，且，证明：.
(3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”.问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”.

3 . 全体正有理数的集合 被分拆为三个集合 (即 ，且 ，满足 ，这里
(1)给出一个满足要求的例子 (即给出 );
(2)给出一个满足要求的例子，且 中的任意两个相邻正整数均不同时 在中.

4 . 已知椭圆 的中心为坐标原点 ，焦点在坐标轴上. 圆 的圆心为坐标原 点 ，过点 且倾斜角为的直线与圆 相切.
(1)求圆 的方程;
(2)过圆 上任意一点 作圆 的切线，与椭圆 交于 两点，均有 成立. 判断椭圆 是否过定点? 说明理由.

5 . 图G是指一个有序二元组（V，E），其中V称为顶点集，E称为边集．一个图G中的两点x，y的距离是指从x到y的最短路径的边数，记作．一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记作，即．记是模的剩余类，定义上的加法和乘法，均是模的加法和乘法，例如在中，；，．在中，设．若存在使得，则称是的一个零因子．记的所有零因子的集合为．例如．的零因子图，记为，它是以为顶点集，两个不同的顶点，之间有一条边相连当且仅当．下图是的例子．证明：对一切的整数，都有．

6 . 给定正整数，数组称为“好数组”是指：均不为，且对任意的，均有．求“好数组”的组数．

7 . 已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率．

8 . 设，均为整系数多项式，且.若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根.

9 . 设整数，从编号的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若1，2均出现或3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为______．

10 . 正实数满足；实数满足，，定义函数，，试问，当满足什么条件时，存在使得定义在上的函数恰在两点处达到最小值？