1 . 设12元实数集合
满足：可将其划分为两个6元子集
和
，使得对每个
，均有
，则这样的
可以是______ ．（写出一个即可）
满足：可将其划分为两个6元子集和，使得对每个，均有，则这样的可以是
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2 . 对于数列A：
，经过变换T：交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列
.例如，数列A：
经交换M，N两段位置，变换为数列：
.设
是有穷数列，令
.
(1)如果数列为3，2，1，且
为1，2，3.写出数列
；（写出一个即可）
(2)如果数列为9，8，7，6，5，4，3，2，1，为5，4，9，8，7，6，3，2，1，为5，6，3，4，9，8，7，2，1，
为1，2，3，4，5，6，7，8，9.写出数列
；（写出一组即可）
(3)如果数列为等差数列：2015，2014，…，1，
为等差数列：1，2，…，2015，求n的最小值.
，经过变换T：交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列.例如，数列A：经交换M，N两段位置，变换为数列：.设是有穷数列，令.(1)如果数列
为3，2，1，且为1，2，3.写出数列；（写出一个即可）(2)如果数列
为9，8，7，6，5，4，3，2，1，为5，4，9，8，7，6，3，2，1，为5，6，3，4，9，8，7，2，1，为1，2，3，4，5，6，7，8，9.写出数列；（写出一组即可）(3)如果数列
为等差数列：2015，2014，…，1，为等差数列：1，2，…，2015，求n的最小值.
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名校
解题方法
3 . 已知正四面体
棱长为2，点
分别是
，
，
内切圆上的动点，现有下列四个命题：
①对于任意点
，都存在点
，使
；
②存在
，使直线
平面
；
③当
最小时，三棱锥
的体积为
④当最大时，顶点
到平面
的距离的最大值为
．
其中正确的有___________ ．（填选正确的序号即可）
棱长为2，点分别是，，内切圆上的动点，现有下列四个命题：①对于任意点
，都存在点，使；②存在
，使直线平面；③当
最小时，三棱锥的体积为④当
最大时，顶点到平面的距离的最大值为．其中正确的有
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2024-06-05更新
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347次组卷
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2卷引用：辽宁省部分高中2023-2024学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
4 . 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费
和年销售量
（
=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中
，
=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
  |  |  |  |  |  |  |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据
,
，……，
,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
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2019-01-30更新
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21947次组卷
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57卷引用：山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考理数试题
山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考理数试题山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考数学（文）试题河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学（文科）试题2020年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学样卷（十二）2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月仿真考试数学(理)试题2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）河南省南阳市六校2016-2017学年高二下学期第二次联考数学（文）试题河南省南阳六校2016-2017高二月考联考文科数学试题湖南省永州市祁阳县第一中学2018届高三10月月考数学（文）试题（已下线）黄金30题系列 高三年级数学（文） 大题易丢分高中数学人教A版选修2-3 第三章 统计案例 本章复习与测试（已下线）《考前20天终极攻略》5月31日 统计【理科】（已下线）高中数学新教材练习题【校级联考】江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题安徽省蚌埠市第二中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题【全国百强校】福建省尤溪一中2018-2019学年高二第二学期期中考试数学（文科）试题新疆阿克苏市高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题（已下线）7.概率与统计[文] -《备战2020年高考精选考点专项突破题集》2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第2次月考数学（文）试题专题07 概率与统计[理]-《备战2020年高考精选考点专项突破题集》（已下线）专题02 变量间的相关关系与回归分析（第四篇）-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖江苏省南京市江宁高级中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题河南省新安县第一高级中学2019-2020学年高二5月月考数学（文）试题（已下线）文科数学-6月大数据精选模拟卷05（新课标Ⅱ卷）（满分冲刺篇）安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高二下学期期中文科数学试题（已下线）突破3.1回归分析的基本思想及其初步应用突破满分数学之2019-2020学年高二数学(理)课时训练(人教A版选修2-3)（已下线）突破3.1回归分析的基本思想及其初步应用-突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）（已下线）重难点02回归方程重难点考与题型突破突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）（已下线）专题32 概率和统计【理】-十年（2011-2020）高考真题数学分项（二）江西省景德镇一中2020-2021学年高二（2班）上学期期中考试数学试题（已下线）考点43 变量间的相关关系-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点一遍过（已下线）考点45 变量间的相关关系-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）解密08 统计与统计案例（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（已下线）专题14 概率统计-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）第四章 概率与统计 本章小结陕西省西安中学2021-2022学年高三上学期期中文科数学试题安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学(文)试题（已下线）考向51 变量间的相关关系、统计案例-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（已下线）专题15 概率统计及其应用（讲）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》人教A版(2019) 选修第三册 核心素养 6-8章 阶段检测卷（已下线）专题51 盘点统计初步及独立性检验问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破人教A版(2019) 选修第三册 一蹴而就 第八章 单元整合（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（四）【理科数学】（6月2日）（已下线）文科数学-2022年高考押题预测卷01（全国乙卷）全国西北工业大学附属中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）第08讲 成对数据的统计分析（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）辽宁省大连市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）专题13 概率统计解答题（已下线）专题14 概率统计解答题-2陕西省延安市第一中学2021-2022学年高二下学期期中文科数学试题福建省福州市屏东中学2023届高三上学期10月第一次月考数学试题（已下线）14.2 统计模型（已下线）专题11-1 直方图、回归方程（线性与非线性）-1四川省宜宾市第六中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（文）广西柳州市第三中学2023届高三下学期2月开学考数学（文）试题（已下线）统 计
名校
5 . 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在
（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记
；又如，R在
（关于对称轴
所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记
．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．
，
；
II．
，
；
Ⅲ．
，
，
；
Ⅳ．，
，
．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的
为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算
来说作成一个群．
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：
，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，
分别是G，H的单位元，
，，
分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I．
，；II．
，；Ⅲ．
，，；Ⅳ．
，，．对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的
为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，
分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；③写出群S的所有子群．
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2024-03-20更新
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1310次组卷
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5卷引用：安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考（二模）数学试题山东省菏泽市单县第一中学2024届高三下学期3月月考数学试题（已下线）安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考（二模）数学试题变式题16-19（已下线）压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2
6 . 群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设
是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若
，则存在唯一确定的
，使得
；（2）结合律成立，即对中任意元素
都有
；（3）单位元存在，即存在
，对任意
，满足，则
称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在
，使得
，则称
与
互为逆元，记作.一般地，
可简记作
可简记作
可简记作
，以此类推.正八边形
的中心为
.以表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以
表示以点为中心，将正八边形逆时针旋转
的旋转变换；以
表示以
所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即
表示将正八边形先进行
变换再进行
变换的变换.以形如
，并规定
的变换为元素，可组成集合，则对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作
.则以下关于及其元素的说法中，正确的有（ ）
是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元，记作.一般地，可简记作可简记作可简记作，以此类推.正八边形的中心为.以表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以表示以点为中心，将正八边形逆时针旋转的旋转变换；以表示以所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即表示将正八边形先进行变换再进行变换的变换.以形如，并规定的变换为元素，可组成集合，则对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作.则以下关于及其元素的说法中，正确的有（ ）A． ，且 |
B． 与 互为逆元 |
| C．中有无穷多个元素 |
| D．中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身 |
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2020·江西赣州·模拟预测
名校
7 . 在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，
）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，
，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合
表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记
为小组
合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献
，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为
其中
为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，
，
在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题：
（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性；
（2）根据，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.
）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题：（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性；
（2）根据
，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.
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2020-11-27更新
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1238次组卷
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3卷引用：江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试数学（理科）试题
8 . 设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：
为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作
.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作
.
例如：对于集合
，
，存在一一对应关系
，因此.
(1)已知集合
，
，试判断
是否成立?请说明理由；
(2)证明：①
；
②
.
，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.例如：对于集合
，，存在一一对应关系，因此.(1)已知集合
，，试判断是否成立?请说明理由；(2)证明：①
；②
.
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2024-04-18更新
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937次组卷
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4卷引用：浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题
浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题河北省名校联盟2024届高三下学期4月第二次联考数学试题 （已下线）压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总 -1（已下线）情境10 存在性探索命题
9 . 甲和乙是同班同学，该班级共52名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（ ）
个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（ ）| A．5 | B．6 | C．7 | D．8 |
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10 . 对于给定的一个
位自然数
（其中
，
），称集合
为自然数
的子列集合，定义如下：
{
且
，使得
}，比如：当
时，
.
(1)当
时，写出集合；
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号
来表示.
（ⅰ）已知
，试比较
大小关系；
（ⅱ）记函数
（其中
为
这个数的一种顺序变换），并将能使
取到最小值的
记为
.当
时，求的最小值，并写出所有满足条件的.
位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，.(1)当
时，写出集合；(2)有限集合
的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示.（ⅰ）已知
，试比较大小关系；（ⅱ）记函数
（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的.
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