1 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后得到，依次施行变换后所得到的数组成数列，是数列的前项和，若，则________．

2 . 用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________

4 . 利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式__________.

5 . 用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________．

6 . 用数学归纳法证明n³＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)³＋5(k＋1)应变形为_______.

7 . 用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是____________.

8 . 用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于______．

9 . 在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：
甲：曲线关于对称；
乙：曲线关于原点对称；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）.

10 . 已知，用数学归纳法证明时，_________．