1 . 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作．提出“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为______．

2 . 法国数学家拉格朗日1797年在著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足条件：
（1）在闭区间是连续不断的；（2）在区间上都有导数.
则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．
函数在区间上的“拉格朗日中值”______．

3 . 敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山．李白在《独坐敬亭山》中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲．相看两不厌，只有敬亭山．相传该诗题写于太白独坐楼（如图（1））．为了测量该楼的高度（如图（2）），一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为则该楼的高度为_______m．

        

4 . 下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数之和，如，，，则第11行第5个数（从左往右数）为________．

6 . 在我国南穼数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，即杨辉三角．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为________，第2024行的第________个数最大．
   

7 . “天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________．

8 . 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年提出；据考证，我国至迟在11世纪，北宋贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，x的系数为____________.

9 . 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为__________.

   

10 . 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”，则______________.