1 . 阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为____________.

2 . 用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________．

3 . 用反证法证明命题“已知，则且”时，先假设结论不成立，即______．

4 . 用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．

5 . 用数学归纳法证明(n＞1且n∈N^*)，第一步要证明的不等式是________________．

6 . 用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.

7 . 用数学归纳法证明：，在验证时，等式左边为________.

8 . “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用甲、乙、丙的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______.

9 . 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．

10 . 用数学归纳法证明，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是_____项．