1 . 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：、、、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

2 . 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.

4 . 已知集合，若对于任意，存在，使得，则称集合是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（       ）

A．	B．
C．	D．

5 . 对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.

6 . 已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A₁，A₂，A₃满足①每个集合都恰有7个元素； ②A₁∪A₂∪A₃＝M．集合A_i中元素的最大值与最小值之和称为集合A_i的特征数，记为X_i（i＝1，2，3），则X₁+X₂+X₃的最大值与最小值的和为___．

7 . 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．

8 . 对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.
（1）若，，求，，；
（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；
（3）若，，求的最小值.

9 . 定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（       ）

A．充要条件	B．充分非必要条件
C．必要非充分条件	D．既非充分也非必要条件

10 . 已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：
   
①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；
②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；
④白色“水滴”图形的面积是.
其中正确的有______.