名校
解题方法
1 . 已知
元正整数集合
满足：
，且对任意
，都有
(1)若
，写出所有满足条件的集合
；
(2)若
恰有
个正约数，求证：
；
(3)求证：对任意的
，都有
.
元正整数集合满足：，且对任意，都有(1)若
，写出所有满足条件的集合；(2)若
恰有个正约数，求证：；(3)求证：对任意的
，都有.
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2 . 对于数集
（
为给定的正整数），其中
，如果对任意
，都存在
，使得
，则称
具有性质
．
(1)若
，且集合
具有性质，求
的值；
(2)若具有性质，求证：
；且若
成立，则
；
(3)若具有性质，且
为常数，求数列
的通项公式．
（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称具有性质．(1)若
，且集合具有性质，求的值；(2)若
具有性质，求证：；且若成立，则；(3)若
具有性质，且为常数，求数列的通项公式．
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3 . 设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
①
；②若
，则
.
(1)求证：若，则
；
(2)若
，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
①
；②若，则.(1)求证：若
，则；(2)若
，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
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2023-08-29更新
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600次组卷
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7卷引用：专题01 集合及集合运算求参(2)-【寒假分层作业】（人教A版2019必修第一册）
（已下线）专题01 集合及集合运算求参(2)-【寒假分层作业】（人教A版2019必修第一册）（已下线）1.1 集合的概念【第三练】北师大版(2019) 必修第一册 数学奇书 学业评价(一)集合的含义（已下线）1.1.1 集合及其表示方法（第1课时）-高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）（已下线）高一上学期期中复习【第一章 集合与常用逻辑用语】十大题型归纳（基础篇）-举一反三系列（已下线）专题01 集合及集合运算求参（2）（已下线）高一上学期期末复习【第一章 集合与常用逻辑用语】基础-举一反三系列
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4 . 已知集合
，对于
，
，定义A与B的差为
，A与B之间的距离为
.
(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意
，有
；
(2)证明：任意
，有
是偶数；
(3)证明：
，有
.
，对于，，定义A与B的差为，A与B之间的距离为.(1)直接写出
中元素的个数，并证明：任意，有；(2)证明：任意
，有是偶数；(3)证明：
，有.
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解题方法
5 . 设k是正整数，A是
的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有
，则称A具有性质
．
(1)试判断集合
和
是否具有性质
？并说明理由．
(2)若
．证明：A不可能具有性质
．
(3)若
且A具有性质
和
．求A中元素个数的最大值．
的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．(1)试判断集合
和是否具有性质？并说明理由．(2)若
．证明：A不可能具有性质．(3)若
且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
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6 . 对于数集（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称X具有性质P．
(1)若，且集合具有性质P，求x的值；
(2)若X具有性质P，求证：；且若成立，则；
(3)若X具有性质P，且
，求数列的通项公式．
（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称X具有性质P．(1)若
，且集合具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：
；且若成立，则；(3)若X具有性质P，且
，求数列的通项公式．
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7 . 拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．设
，
，称平面区域
为以
为心，
为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：
的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
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8 . 设集合为
元数集，若的2个非空子集
满足：
，则称为的一个二阶划分．记
中所有元素之和为
中所有元素之和为
．
(1)若
，求的一个二阶划分，使得
；
(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足
；
(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若
，则
；②若
，则
．记
为符合条件的的个数，求的解析式．
为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．(1)若
，求的一个二阶划分，使得；(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足；(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．
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2023-07-17更新
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543次组卷
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5卷引用：专题03 函数的概念与性质3-2024年高一数学寒假作业单元合订本
（已下线）专题03 函数的概念与性质3-2024年高一数学寒假作业单元合订本北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型40题专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）（已下线）第三章 函数的概念与性质-【优化数学】单元测试能力卷（人教A版2019）
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解题方法
9 . 设集合
，如果对于
的每一个含有
个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于
，称正整数
为集合的一个“相关数”.
(1)当
时，判断5和6是否为集合
的“相关数”，说明理由；
(2)若为集合的“相关数”，证明：
；
(3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值.
，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.(1)当
时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；(2)若
为集合的“相关数”，证明：；(3)给定正整数
，求集合的“相关数”m的最小值.
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2023-08-27更新
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562次组卷
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6卷引用：专题01 集合及集合运算求参(2)-【寒假分层作业】（人教A版2019必修第一册）
（已下线）专题01 集合及集合运算求参(2)-【寒假分层作业】（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）北京市西城区2017届高三二模数学理科试题北京市西城区2017届高三5月模拟测试（二模）数学理试卷北京市景山学校2022届高三上学期期中考试数学试题（已下线）专题01 集合及集合运算求参（2）
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10 . 已知有个连续正整数元素的有限集合
（
，
），记有序数对
，若对任意
，
，
，
且
，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：
；
条件②：
.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.条件①：
；条件②：
.(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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274次组卷
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2卷引用：北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
