名校
1 . 设数阵
，其中
．设
，其中
且
．定义变换
为“对于数阵的每一行，若其中有
或
，则将这一行中每个数都乘以
；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”
表示“将
经过
变换得到
，再将经过
变换得到
以此类推，最后将
经过
变换得到
．记数阵中四个数的和为
．
(1)若
，写出经过
变换后得到的数阵，并求的值；
(2)若
，求的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过
．
，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”表示“将经过变换得到，再将经过变换得到以此类推，最后将经过变换得到．记数阵中四个数的和为．(1)若
，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；(2)若
，求的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵
，证明：的所有可能取值的和不超过．
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2023-12-20更新
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1854次组卷
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6卷引用：浙江省温州市第五十一中学2024届高三上学期期末数学试题
浙江省温州市第五十一中学2024届高三上学期期末数学试题（已下线）最新模拟重组精华卷2 -模块一 各地期末考试精选汇编（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）北京市海淀区中关村中学2024届高三上学期12月月考数学试题
2 . 定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族
，它满足以下条件：（1）
和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族
，族
，判断族
与族
是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：
；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族
为集合上的一个拓扑.
定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.(1)族
，族，判断族与族是否为集合的拓扑；(2)设有限集
为全集（i）证明：
；（ii）族
为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
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解题方法
3 . 已知
元正整数集合
满足：
，且对任意
，都有
(1)若
，写出所有满足条件的集合
；
(2)若
恰有
个正约数，求证：
；
(3)求证：对任意的
，都有
.
元正整数集合满足：，且对任意，都有(1)若
，写出所有满足条件的集合；(2)若
恰有个正约数，求证：；(3)求证：对任意的
，都有.
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解题方法
4 . 已知数列
，
，…，
的各项均为正整数．设集合，
记
的元素个数为
．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若是递增数列，求证：“
”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．(1)若数列
1，1，3，2，求集合，并写出的值；(2)若
是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
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5 . 对于数集
（
为给定的正整数），其中
，如果对任意
，都存在
，使得
，则称具有性质．
(1)若
，且集合
具有性质，求
的值；
(2)若具有性质，求证：
；且若
成立，则
；
(3)若具有性质，且
为常数，求数列
的通项公式．
（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称具有性质．(1)若
，且集合具有性质，求的值；(2)若
具有性质，求证：；且若成立，则；(3)若
具有性质，且为常数，求数列的通项公式．
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名校
解题方法
6 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意
，都有
或
，则称A为自邻集.记集合
的所有子集中的自邻集的个数为
.
(1)直接写出
的所有自邻集；
(2)若
为偶数且
，求证：
的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若
，求证：
.
，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出
的所有自邻集；(2)若
为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若
，求证：.
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2023-05-28更新
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718次组卷
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12卷引用：专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）
（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）北京市西城区2021届高三5月二模数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二上学期期中检测数学试题北京市第二十中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题北京一零一中学2023届高三下学期数学统练四试题北京卷专题02集合（解答题）北京市第一0一中学2022-2023学年高三下学期统练数学试卷（四）（已下线）高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-举一反三系列北京市北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题北京市东城区景山学校2024届高三上学期12月月考数学试题北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷（已下线）拔高点突破01 集合背景下的新定义压轴解答题（四大题型）
7 . 数列
的前n项
组成集合
，从集合中任取
个数，其所有可能的k个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列
，当
时，
时，
；
(1)若集合
，求当
时，
的值；
(2)若集合
，证明：
时集合
的
与
时集合
的（为了以示区别，用
表示）有关系式
，其中
；
(3)对于（2）中集合．定义
，求
（用n表示）．
的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；(1)若集合
，求当时，的值；(2)若集合
，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；(3)对于（2）中集合
．定义，求（用n表示）．
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2023-05-23更新
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541次组卷
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4卷引用：微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编
（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编2017届上海市浦东新区高考三模数学试题2017届上海市浦东新区高三下学期5月练习数学试题（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题1 建立递推关系求通项公式 微点1 建立递推关系求通项公式
8 . 在
）个实数组成的n行n列的数表中，
表示第i行第j列的数，记
，
若∈
，且
两两不等，则称此表为“n阶H表”，记
(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数
且
，求证：
为偶数；
(3)求证：不存在“5阶H表”.
）个实数组成的n行n列的数表中，表示第i行第j列的数，记，若∈，且两两不等，则称此表为“n阶H表”，记(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数
且，求证：为偶数；(3)求证：不存在“5阶H表”.
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2023-03-14更新
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872次组卷
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5卷引用：专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练
（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之压轴创新题北京市第一0一中学2023届高三数学统练三试题北京市第十一中学2023届高三三模（5月）数学试题
名校
解题方法
9 . 给定整数
，由元实数集合
定义其相伴数集
，如果
，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数
为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断
、
哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记
、
分别为其中最小数与最大数，求证：
；
(3)当
遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：
、
分别表示数集中的最小数与最大数.
，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.(1)判断
、哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个
元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；(3)当
遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.注：
、分别表示数集中的最小数与最大数.
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2023-02-24更新
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4340次组卷
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12卷引用：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-19
（已下线）2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-19安徽省合肥一六八中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）江西省南昌市江西师范大学附属中学2024届高三下学期开学考（数学）试卷2024届高三新高考改革数学适应性练习（一）（九省联考题型）（已下线）黄金卷03（2024新题型）（已下线）信息必刷卷05（已下线）信息必刷卷04（江苏专用，2024新题型）河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期3月适应性考试数学试题（已下线）数学（九省新高考新结构卷01）（已下线）压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2北京市清华大学附属中学望京学校2022-2023学年高一下学期2月统练（开学考试）数学试题（已下线）第二篇 函数与导数专题5 切比雪夫、帕德逼近 微点3 切比雪夫函数与切比雪夫不等式
名校
10 . 设集合为元数集，若的2个非空子集
满足：
，则称为的一个二阶划分．记
中所有元素之和为
中所有元素之和为
．
(1)若
，求的一个二阶划分，使得
；
(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足
；
(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若
，则
；②若
，则
．记
为符合条件的的个数，求的解析式．
为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．(1)若
，求的一个二阶划分，使得；(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足；(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．
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2023-07-17更新
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573次组卷
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5卷引用：专题03 函数的概念与性质3-2024年高一数学寒假作业单元合订本
（已下线）专题03 函数的概念与性质3-2024年高一数学寒假作业单元合订本北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型40题专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）（已下线）第三章 函数的概念与性质-【优化数学】单元测试能力卷（人教A版2019）
