1 . 某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．

(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；
(2)如何设计与的长度，使得最大？

2 . 某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.
(1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？

3 . 已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
(1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润年销售收入-年总成本）

4 . 如图（图中单位为：m），将一个边长为16的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．

(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；
(2)x多大时，方盒的容积V最大？最大容积为多少？

5 . 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度度，其中．

(1)若，求和的长；
(2)求d关于的函数表达式；
(3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

7 . 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．

9 . 2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，红星机械厂积极响应决定投资生产产品．经过市场调研，生产产品的固定成本为300万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，生产的产品可以全部销售完．
(1)求利润函数的解析式；
(2)求利润函数的最大值．

10 . 工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数．
(1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；
(2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决）